一、二次无理数

二次无理数（quadratic irrational）是某些有理数系数的一元二次方程的根。若将所有系数乘以分母的最小公倍数，即可将系数转换为整数。因此所有二次无理数都可以表示成 ${\frac {a+b{\sqrt {c}}}{d}}$

其中

$a,b,c,d$ 为整数，
$c$ 是无平方数因数的数
$d$ 不为零。

若c为正数，所得的是实二次无理数，若c为负数，所得的是复二次无理数。二次无理数是可数集。

1770年，拉格朗日证明一个数字能表示成循环连分数，当且仅当此数为实二次无理数[1]。例如 ${\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]$ 。

二、达文波特-施密特(Davenport–Schmidt theorem);

在数学中，特别是在丢番图近似领域，达文波特-施密特定理告诉我们某种实数可以用另一种实数来近似。具体来说，它告诉我们，我们可以通过使用二次无理数或简单的有理数来很好地逼近非二次的无理数。它以 Harold Davenport 和 Wolfgang M. Schmidt 的名字命名。

给定一个有理数或二次无理数 α，我们可以找到唯一整数 x、y 和 z，使得 x、y 和 z 不全为零，其中第一个非零是正数，它们是相对素数，我们有

$x\alpha ^2+y\alpha+z =0$

如果 α 是二次无理数，我们可以将 x、y 和 z 作为其最小多项式的系数。如果 α 是有理数，我们将有 x = 0。通过为每个这样的 α 唯一确定的这些整数，我们可以将 α 的高度定义为

$H(\alpha )=max\{|x|,|y|,|z|\}$

然后定理说，对于任何既不是有理数也不是二次无理数的实数 ξ，我们可以找到无穷多个实数 α，它们是有理数或二次无理数并且满足

$|\xi -\alpha |<CH(\alpha )^{-3}\max(1,\xi ^{2}),$
其中 C 是任何满足 C > 160/9 的实数。 [1]

虽然该定理与 Roth 定理有关，但它的真正用途在于它是有效的，即对于任何给定的 ξ 都可以计算出常数 C。

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