例题

题目：评价下表中20条河流的水质情况

注：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好；植物营养物量介于10-20之间最佳，超过20或低于10均不好。

（1）原始矩阵正向化

1.1 常见的四种指标

原始矩阵正向化就是将所有的指标类型统一转化为极大型指标
1.2 指标转换方法
①极小型指标–>极大型指标

②中间型指标–>极大型指标

其中，当x_i越靠近中间值x_best，转换后数值越大。
③区间型指标–>极大型指标

其中，ab分别为区间的下界和上界。当x_i处于区间范围内时，为其最佳状态。离开区间范围距离越远，转换后得到的数值越小。
1.3 本题中的指标类型与指标类型转化

含氧量	PH值	细菌总数	植物性营养物量
极大型	中间型	极小型	区间型

①PH值：中间型–>极大型

function [posit_x] = Mid2Max(x,best)M = max(abs(x-best));posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
end

②细菌总数：极小型–>极大型

function [posit_x] = Min2Max(x)posit_x = max(x)-x;
end

③植物性营养物量：区间型–>极大型

function[posit_x] = Inter2Max(x,a,b)nrow = size(x,1);M = max([a-min(x),max(x)-b]);posit_x = zeros(nrow,1);%[0;0;0;...;0]for i=1:nrowif x(i) < aposit_x(i) = 1-(a-x(i))/M;elseif x(i) > bposit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;elseposit_x(i) = 1;endend
end

正向化后的矩阵X：

（2）标准化处理

目的：消除不同量纲的影响

Z = x ./ repmat(sum(x .*x) .^0.5 ,n,1);
disp('标准化矩阵 z = ')
disp(Z)

（3）计算得分并归一化

性质：①0≤S≤1，S越大越接近于最大值

D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^2],2) .^0.5;
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^2],2) .^0.5
S = D_N ./ (D_P+D_N);
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S index] = sort(stand_S.'descend')

sort(___,direction) 使用上述任何语法返回按 direction 指定的顺序显示的 A 的有序元素。‘ascend’ 表示升序（默认值），‘descend’ 表示降序。
C = max(A) 返回一个数组各不同维中的最大元素。如果A是一个向量，max(A)返回A中的最大元素。如果A是一个矩阵，max(A)将A的每一列作为一个向量，返回一行向量包含了每一列的最大元素
结果：

stand_S =
0.0451
0.0478
0.0485
0.0488
0.0431
0.0448
0.0539
0.0510
0.0681
0.0684
0.0702
0.0591
0.0527
0.0192
0.0533
0.0434
0.0466
0.0438
0.0358
0.0565
sorted_S =
0.0702
0.0684
0.0681
0.0591
0.0565
0.0539
0.0533
0.0527
0.0510
0.0488
0.0485
0.0478
0.0466
0.0451
0.0448
0.0438
0.0434
0.0431
0.0358
0.0192
index =
11
10
9
12
20
7
15
13
8
4
3
2
17
1
6
18
16
5
19
14

代码

mytopsis.m

%%  第一步：把数据复制到工作区，并将这个矩阵命名为X
% （1）在工作区右键，点击新建（Ctrl+N)，输入变量名称为X
% （2）在Excel中复制数据，再回到Excel中右键，点击粘贴Excel数据（Ctrl+Shift+V）
% （3）关掉这个窗口，点击X变量，右键另存为，保存为mat文件
clc,clear;
load data_water_quality.mat
%% 第二步：原始矩阵正向化
[n m] = size(X);
disp(['有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标'])
Choice = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);if Choice == 1Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第1 2 3三列需要处理，那么你需要输入[1 2 3]：');disp('输入需要处理列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  ');for i = 1: size(Position,2)X(:,Position(i)) = myPositivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));enddisp('正向化后的矩阵 X =  ')disp(X)
end
%% 第三步：正向化矩阵标准化
Z = X ./ repmat(sum(X .*X) .^0.5,n,1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)
%% 第四步：计算得分并归一化
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^2 ],2) .^0.5;
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^2 ],2) .^0.5;
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')

myPositivization.m

function [posit_x] = myPositivization(x,type,i)if type == 1 %极小型disp(['第' num2str(i) '列是极小型'] )posit_x = Min2Max(x);  disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )disp('##################分界线##################')elseif type == 2 %中间型disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )best = input('请输入x_best： ');posit_x = Mid2Max(x,best);disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )disp('##################分界线##################')elseif type ==3 %区间型disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )a = input('请输入区间的下界a： ');b = input('请输入区间的上界b： '); posit_x = Inter2Max(x,a,b);disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )disp('##################分界线##################')elsedisp('wrong type_number')end
end

Mid2Max.m

function [posit_x] = Mid2Max(x,best)M = max(abs(x-best));posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
end

Min2Max.m

function [posit_x] = Min2Max(x)posit_x = max(x) - x;%posit_x = 1 ./ x;    %如果x全部都大于0，也可以这样正向化
end

Inter2Max.m

function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)r_x = size(x,1);  % row of x M = max([a-min(x),max(x)-b]);posit_x = zeros(r_x,1);   %zeros函数用法: zeros(3)  zeros(3,1)  ones(3)% 初始化posit_x全为0  初始化的目的是节省处理时间for i = 1: r_xif x(i) < aposit_x(i) = 1-(a-x(i))/M;elseif x(i) > bposit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;elseposit_x(i) = 1;endend
end

Reference

清风数学建模：
https://www.bilibili.com/video/BV1DW411s7wi

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（2）标准化处理

（3）计算得分并归一化

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