一、多重背包问题1

ACwing 4.多重背包问题I

一、状态表示

f[i][j]，表示从前i个物品当中选,总体积不超过j的选法，求解的是最大值

二、集合划分

f[i][j]根据第i见物品选择的数量进行划分,f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2*v]+2 * w....

三、转移方程

f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-kv] + k * w)

代码：

#include <iostream>
using namespace std;int n,m;
const int N = 110;
int f[N][N],v[N],w[N],s[N];int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i = 1;i <= n;i++){scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]);}for(int i = 1;i <= n;i++)for(int j = 1;j <= m;j++){for(int k = 0;k <= s[i] && k * v[i] <= j;k++){f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);}}printf("%d",f[n][m]);return 0;
}

方法二：将多重背包问题转化成01背包问题：

#include <iostream>
using namespace std;const int N=10010;
int a[N],b[N],f[N];
int n,m,v,w,s,t;int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0;i<n;i++){cin>>v>>w>>s;while(s--){a[++t]=v;b[t]=w;}//死拆，把多重背包拆成01背包}for(int i=1;i<=t;i++)for(int j=m;j>=a[i];j--){f[j]=max(f[j],f[j-a[i]]+b[i]);}cout<<f[m];return 0;
}

二、多重背包问题2

ACwing5

本题的背景和上一道题完全一样，但是进行了数据的加强,如果采用上一个题的方法,时间复杂度为10^9明显会超时。因此得想办法进行优化，采用二进制优化，

代码如下，采用二进制优化后转化为01背包问题、

#include <iostream>
using namespace std;
#define N 12000//N*logs(注意是以2为底，s的对数)=1000*log2000≈11000，开15000保险
#define M 2010
int n,m;
int v[N],w[N];
int dp[N];//01背包优化，用一维数组
int main()
{int a,b,s;cin>>n>>m;int cnt=0;//存储新物品的编号/*多重背包二进制优化操作*/for(int i=1;i<=n;++i){cin>>a>>b>>s;//第i种物品的体积，价值，数量int k=1;while(k<=s){v[++cnt]=a*k, w[cnt]=b*k, s-=k, k*=2;}if(s>0) { v[++cnt]=a*s, w[cnt]=b*s; }}/*01背包*/n=cnt;//更新物品数量，此时为若干个新物品for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=m;j>=v[i];--j)dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);}cout<<dp[m]<<endl;return 0;
}

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