NOIP 2013 Senior 5

Description

花匠栋栋种了一排花，每株花都有自己的高度。花儿越长越大，也越来越挤。栋栋决定把这排中的一部分花移走，将剩下的留在原地，使得剩下的花能有空间长大，同时，栋栋希望剩下的花排列得比较别致。

具体而言，栋栋的花的高度可以看成一列整数h1,h2,…,hnh_1, h_2, … , h_n。设当一部分花被移走后，剩下的花的高度依次为g1,g2,…,gmg_1, g_2, … , g_m，则栋栋希望下面两个条件中至少有一个满足：

条件 A：对于1≤i≤m/21≤i≤m/2，有g2i>g2i−1g_{2i}>g_{2i-1}，同时对于所有的1≤i<m/21≤i，有g2i>g2i+1g_{2i}>g_{2i+1}；

条件 B：对于1≤i≤m/21≤i≤m/2，有g2i<g2i−1g_{2i}，同时对于1≤i<m/21≤i，有g2i<g2i+1g_{2i}

注意上面两个条件在m = 1时同时满足，当m > 1时最多有一个能满足。

请问，栋栋最多能将多少株花留在原地。

Input

输入的第一行包含一个整数 n，表示开始时花的株数。

第二行包含 n 个整数，依次为h1,h2,…,hnh_1, h_2,… , h_n，表示每株花的高度。

Output

输出一行，包含一个整数 m，表示最多能留在原地的花的株数。

Sample Input

5 3 2 1 2

Sample Output

Data Constraint

对于 20%的数据，n ≤ 10；

对于 30%的数据，n ≤ 25；

对于 70%的数据，n ≤ 1000，0 ≤ hih_i ≤ 1000；

对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤ hih_i ≤ 1,000,000，所有的hih_i随机生成，所有随机数服从某区间内的均匀分布。

思路 1
可以用类似于最长xx子序列的思想来做，时间复杂度为O(n2)O(n^2)：

    std::vector<INT> height(n + 1);std::vector<INT> fA(n + 1, 1);std::vector<INT> fB(n + 1, 1);for (int i = 1; i <= n; i++){height[i] = readIn();for (int j = 1; j < i; j++){if (fA[j] & 1){if (height[i] > height[j])fA[i] = std::max(fA[i], fA[j] + 1);}else{if (height[i] < height[j])fA[i] = std::max(fA[i], fA[j] + 1);}ans = std::max(ans, fA[i]);if (fB[j] & 1){if (height[i] < height[j])fB[i] = std::max(fB[i], fB[j] + 1);}else{if (height[i] > height[j])fB[i] = std::max(fB[i], fB[j] + 1);}ans = std::max(ans, fB[i]);}}

思路 2

可以用线段树加速DP：

    SegTre stA1; //A为奇数的SegTre stA2; //A为偶数的SegTre stB1; //B为奇数的SegTre stB2; //B为偶数的for (int i = 1; i <= n; i++){INT height = readIn() + 2;INT valA1 = stA1.query(1, height - 1) + 1; //偶数INT valA2 = stA2.query(height + 1) + 1; //奇数INT valB1 = stB1.query(height + 1) + 1; //偶数INT valB2 = stB2.query(1, height - 1) + 1; //奇数if (!(valA1 & 1)){ans = std::max(ans, valA1);stA2.set(height, valA1);}if (valA2 & 1){ans = std::max(ans, valA2);stA1.set(height, valA2);}if (!(valB1 & 1)){ans = std::max(ans, valB1);stB2.set(height, valB1);}if (valB2 & 1){ans = std::max(ans, valB2);stB1.set(height, valB2);}}

然而以上两种思路的状态转移方程分了A，B两种情况，要判断4次，太渣了，以至于使用线段树也只能过9个点。

应该采用这个状态转移方程：（f[i]代表最高点，g[i]代表较低点）

f[i]=max1≤j<i且aj<ai{g[j]+1}

f[i]=\underset {1\le j \lt i且a_j\lt a_i}{max}\{g[j] + 1\}

g[i]=max1≤j<i且aj>ai{f[j]+1}

g[i]=\underset {1\le j \lt i且a_j\gt a_i}{max}\{f[j] + 1\}
因为A，B其实是一种情况，要把它们看做锯齿。

void SuperDP()
{SegTre f; //较大SegTre g; //较小for(int i = 1; i <= n; i++){INT height = readIn() + 2;INT valG = f.query(height + 1) + 1;INT valF = g.query(1, height - 1) + 1;ans = std::max(ans, std::max(valF, valG));f.set(height, valF);g.set(height, valG);}
}

思路 2
那为什么不直接找锯齿呢。。。或者说，找所有在单调上升和单调下降之间的点。
首先，我们要先把连续的相同高度的花删掉。然后我们从头到尾扫过去，遇到了拐点就让答案+1，最后算上两个端点就好了。
动归固然跪，分析大法好。

参考代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <stack>
#include <queue>
#include <deque>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;
typedef long long INT;
inline INT readIn()
{bool minus = false;INT a = 0;char ch = getchar();while(!(ch == '-' || ch >= '0' && ch <= '9')) ch = getchar();if(ch == '-'){minus = true;ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9'){a *= 10;a += ch;a -= '0';ch = getchar();}if(minus) a = -a;return a;
}const INT maxn = 100005;
INT n;
INT N;
INT height[maxn];
INT ans;void run()
{n = readIn();ans = 1;INT pre = -1;for(int i = 1; i <= n; i++){INT input = readIn();if(input == pre) continue;height[++N] = input;pre = input;}if(N >= 2) ans++; //如果长度大于等于2的话就有两个端点for(int i = 2; i <= N - 1; i++){if(height[i - 1] < height[i] && height[i] > height[i + 1]) ans++;else if(height[i - 1] > height[i] && height[i] < height[i + 1]) ans++;}cout << ans << endl;
}int main()
{run();return 0;
}

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