问题描述

Philippe Flajolet和Robert Sedgewick在2009年提出了“百囚犯问题（100 prisoners problem）。

在某个法制不健全的国家，监狱中有编号从1到100的100名囚犯，监狱长给了他们最后一次机会：

　　-----一个房间里有100个抽屉，监狱长随意把1到100这100个号码放到100个抽屉里，每个抽屉一张

　　-----囚犯们逐个进入房间，每人可以任意打开50个抽屉，之后关上

　　-----如果每位囚犯都在这50个抽屉中找到了他的号码，那么所有的囚犯都会被赦免；如果有人没有找到他的号码，那么所有的囚犯都会被处死

　　-----在第一个囚犯进入房间之前，囚犯们允许在一起讨论开抽屉的“策略”；但一旦第一个囚犯进入房间，他们之间就被禁止交流

设计出一种策略，使得尽可能被赦免

问题分析

如果纯粹随机开抽屉，那么所有人被赦免的概率是(50 / 100)^100 ≈ 8*10^-31，可见这个概率非常的小。

囚犯有什么好一些的策略？

下面给出已经被证明的最优策略：

循环跟踪策略

每名囚犯进入房间后都——
1、先打开自己号码的抽屉
2、如果这个抽屉有他自己的号码，他就成功了
3、否则，抽屉里会有另外一个号码，然后他打开这个号码的抽屉
4、不断地重复第2步和第3步，直到他已经找到自己的号码，或者已经打开50个抽屉都没找到（那全体就失败了）

 示例1：

考虑一个迷你版的，把100改成8，50改成4，抽屉放纸条的方式按如下所示：

策略的具体实现如下：

1号囚犯打开1号抽屉发现8号纸条、打开8号抽屉发现4号纸条、打开4号抽屉发现6号纸条、打开6号抽屉发现1号纸条-----命悬一线有惊无险
2号囚犯开2号-->开5号-->开3号-----找到
3号囚犯开3号-->开2号-->开5号-----找到
4号囚犯开4号-->开6号-->开1号-->开8号-----找到
5号囚犯开5号-->开3号-->开2号-----找到
6号囚犯开6号-->开1号-->开8号-->开4号-----找到
7号囚犯开7号-----找到
8号囚犯开8号-->开4号-->开6号-->开1号-----找到大家都被赦免了！

示例2：

抽屉放纸条的方式如下：

策略的具体实现如下：

第一个进去的囚犯开1号-->开5号-->开8号-->开2号----不是，，，( ¯ □ ¯ )……(x___x)

进一步分析：

抽屉的编号和抽屉里的数字形成置换，根据定理任意置换可唯一的表示成若干不相交轮换的复合（积）.

于是示例1中的置换可写成：(1,8,4,6)(2,5,3)(7),示例2中的置换可写成：(1,5,8,2,7)(3,4,6)

于是容易得出结论：如果 i 所在的轮换长度不超过50，那么第 i 号囚犯一定可以找到自己的号码纸条；如果 i 所在的轮换长度超过50，那么第 i 号囚犯一定找不到自己的号码纸条。

几点标注

1、其实按照这个策略，当前50个囚犯成功时，后50已经不必再试就知道他们必然获释

2、在前50个人中如果有人是第50个抽屉才发现自己的号码，那么后面的囚犯都不必再试

最优策略下的成功概率

实质就是在 100! 种(n种元素的置换有n!种)中，有多少置换存在长度大于50的轮换？

易知任意一个置换分解后至多存在一个长度大于50的置换.

我们假定置换下面假定置换 存在长度大于50的轮换 ，其长度为 l.

　　------轮换中的元素有C(100,l)种可能

　　-------选定l个元素后，可以形成(l - 1)!种不同的轮换（即圆排列数）

　　-------剩下的(100 - l)个元素可形成(100 - l)!种置换

　　-------于是这样的置换一共有C(100,l) * (l - 1) * (100 - l) = 100! / l种

囚犯们遇到这样的置换的概率是

所以成功的概率是1 - 0.6882 = 0.3118.

渐近分析

当把100改做2n,50改做n,该策略失败的概率为Σ²ⁿ_n+1(1/l),记H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n

成功的概率 = 1 - （H_2n - H_n) = 1 - （H_2n - ln(2n)) + (H_n - ln(n)) - ln2

已知，于是

总结

最优策略虽然很容易理解，但却不好证明，以后会证了再补充吧/இ௰இ！

参考链接：

https://en.wikipedia.org/wiki/100_prisoners_problem

https://zhuanlan.zhihu.com/p/31211827?edition=yidianzixun&utm_source=yidianzixun&yidian_docid=0HzDk3uW

中国大学mooc  刘铎  离散数学