读书笔记：微积分的历程-从牛顿到勒贝格

挺好的一本书，讲了微积分的历史，并且有很多干货，第一遍快速读完，第二遍读的过程顺便做些笔记

第1章牛顿

介绍牛顿的成就一般会提到他创建了微积分和广义二项展开，广义二项展开式指展开次数不只是整数，而且可能是分数或负数。目前我们使用的二项展开形式很简洁，牛顿当时的展开式是一个复杂的递归表示式。同样，对于三角函数如sinx的展开，牛顿采用的方式自然也不是泰勒展开，而是用一种几何的方法，并采用他的逆级数技术导出的。

第2章莱布尼茨

与同时期的牛顿一样，莱布尼茨关于微积分的推导还是主要采用几何的方法，而且推导过程从现在看来有很多漏洞，比如求和和积分的顺序问题，但是他们确实用他们的方式取得了自己的成果，比如莱布尼茨级数π4=1−1/3+1/5−...\frac{\pi}4=1-1/3+1/5-...

第8章刘维尔

从这一章开始有些不好懂了
这一章感觉跟微积分没太大关系，都是超越数相关，仅有的有关系的又没有详细说明：什么样的积分不能有简单形式

第9章威尔斯特斯拉

魏尔斯特斯拉病态函数的说明用作者的话说，是这本书最复杂的，但是一步一步看下来也不难理解，看完作者说明的特例a=21和b=1/7以后，可以了解为什么要求a>=3的奇数，ab>1+3pi/2
a>1
因为在hm的选择过程中hm=(1−ϵm)/amh_m=(1-\epsilon_m)/a^m，这个值要趋于0，就必须a>1
a必须是奇数
因为165页的4个观察中的A，如果a是偶数，则这一项的值恒等于1，而不是根据αm\alpha_m的值交叉正负号
ab>1+3pi/2
定理证明的关键是微商计算过程中k大于等于m的序列和的绝对值要大于k小于m的序列和的绝对值，这就要2/3(ab)m>π((ab)m−1)/(ab−1))2/3(ab)^m>\pi((ab)^m-1)/(ab-1))。做一些处理就是上面的结果对于作者举得例子a=21和b=1/3，就是(2/3-\pi/6)必须大于0

第10章第二次波折

这一章说了很多违背直觉的东西：
牛顿莱布尼茨时候的微分积分主要考虑简单的连续函数
黎曼积分可以应用于不连续的函数，甚至无限个不连续点的函数也有可能积分，例如黎曼函数，而且这个函数在所有有理数点不连续，在所有无理数点连续
连续的函数具有介值属性
任意区间具有介值属性的函数不一定连续，例如S(x)
可微函数的导数不一定连续，例如U(x)
可微函数的导数具有介值属性：达布定理

第11章康托尔

本书中间部分用到了很多数学分析知识，从这一章开始，反而需要的知识不太多，更多的是一些推理，反应了本书的科普书属性。
这一章最重要的是实数的完备性，包括书中说的：
C1 任何有界非减序列收敛到某个实数
C2 任何柯西序列存在极限
C3 任何有上界的非空实数集有一个上确界
C4 有界闭区间的递减序列必定有同属于所有区间的公共点
但是实数为什么是完备的，以及如何从有理数构造实数，书中说太深奥了，所以没具体说，可能也确实不好懂，只说了康托尔的实数系结构是以有理数的柯西序列的等价类为基础，戴德金的方法则采用把有理数分为不相交类的划分。但是上面的C1-C4相对还是好懂的。其实实数模型还有魏尔斯特拉斯十进制小数模型，个人感觉这个相对比较好懂

第12章沃尔泰拉

这一章主要说了2个内容，其中一个没有详细说明，一个详细说明了。
没有详细说明的是微积分基本定理对函数导数的要求：是否导数有界即可（达布证明黎曼可积是可以的），沃尔泰拉给出一个F函数反例说明不可以，不过书中没有详细说明。
详细说明的是点态不连续函数相关的一个定理：闭区间不可能同时存在两个点态不连续函数，其中一个的连续点是另一个的不连续点，从而说明了不存在有理数点连续、无理数点不连续的函数

第13章贝尔

贝尔分类定理的证明用到了实数完备性，后面给出康托尔定理的证明虽然与11章不一样，但是本质上是一样的，都是利用递减区间套。
221页的证明还是不好懂的，里面的概念点态不连续在202页定义DfD_f表示函数不连续点，必要条件的证明分2部，2部分要结合起来看，要不然不知道第一步证明有什么用，第一步证明PkP_k为无处稠密集合，关键是找到一个区间不包含PkP_k的点，第2部证明每一个不连续点都属于PkP_k。第二步证明首先书中翻译有点问题，取z应该是满足0<|z−x|<δ0，并且|f(z)−f(x)|≥ϵ|f(z)-f(x)|\ge\epsilon。由于x点不连续，所以必定存在一个这样的ϵ\epsilon，也就可以找到对应的k满足1/k<ϵ1/k.
最后的贝尔的函数分类非常有意思，虽然作者没有做出证明，证明过从肯定会比较复杂，但是结论是简单的例如其中的定理：f可微则必定f’点态连续

第14章勒贝格

作为本书的结束，这一章介绍了勒贝格积分的用途，给出了很多定理，但是没有证明，包括上一章说的是否存在属于247类的函数，是否存在不属于贝尔分类的函数。希望了解这些定理证明的，只能找本实分析的书去看了