营救

题目大意：

你是红军指挥官，在一场军事演习中，你的部分军队被蓝军包围了。蓝军包围的方式如下

在上图中，每个顶点表示蓝军的部队，顶点中数字表示蓝军在此处的人数（千人），两点间的边表示蓝军两个部队间形成的火线，火线构成的圈即是一道包围，一条火线的战斗力为其相连两个部队的人数和，也是你要进攻这条火线所要消耗的兵力。你可以同时进攻蓝军的多条火线，请以成本最低的方式打破蓝军包围，营救被包围的部队，计算出所需要消耗的兵力数（千人）

项目解决方案：

一．基本解题思路

1.首先根据题中的火力包围圈简化成一张无向加权图，边权重为其两端顶点权重之和。

2.包围便是指节点之间形成的环路，故打破包围便是要在每个最小的圈（即圈中没有其他圈）

中选择一条边进行进攻

3.题目要求解开所有的包围圈，其实就是将图中环全部去掉，而生成树正好可以遍历所有

顶点且做到无环

4.基于Union-Find的kruslal算法求解图中的最大生成树。

5.除去最大生成树包含的边，图中剩余的其他边就是我们消耗兵力最少的营救方案。

二．证明过程

Part 1：去掉生成树之后，剩下的边能破开所有的圈（包围圈），解救出所有的部队。

定义概念：

最小环：内部不包含任何其他环。

任一最小环，删去一条边便会被解开，同时如果删去两条边或以上，则最小环会不连通。

通过上述及生成树无环的定义我们可知，最后每一个最小环只会被删去一条边，同时图中所有环将被解开，达到营救的目的。

最大生成树是生成树。下图是根据生成树的性质导出结论的流程图。

Part 2：此方案进攻的火力线消耗的兵力数最少（成本最低）

引理1：（the cut ptoperty）考虑图G的一条边e。如果存在一个cut（A,B）,使得e是跨越该割的所有边中权重的最大者，则e一定在图G的最大生成树。(课堂上课件已证)

引理2：（double-crossing lemma）如果某个圈C⊆E中有边跨越了cut(A, B),则C中必有其他边跨越cut(A, B)。【至少还有一条】(课堂上课件已证)

首先，我们构造T’为要去掉的边(需要攻破的火力线)的集合，其中包含了最大生成树中的边e’且e’与e（e的边权重比e’小）成环。由引理2可知，存在一个cut(A,B)使得e和e’同时为其割边。再由引理1可知w(e’)>w(e)，所以，当我们将e’替换为e时，构建的T的权重和要小于T’。所以我们知道最大生成树的边都不会在最后解（要进攻的火力线）中，所以证明了算法的正确性。

在从另一个层面来说,所有火力线的总和是一定的，我们将火力线总和设为M，我们进攻时又要避开一颗生成树(由part 1知)。因为这个生成树是最大的，那么进攻的火力线等于总的火力线M减去最大生成树上的火力线T，那么进攻的火力线一定是最小的。

进攻的火力线=总的火力线M-最大生成树上的火力线T

三．伪代码

T'={图中所有的边}

n=0

w_edge=[]

for (i,j) in T//将点的权重转化为边权重

w_edge((i,j))=w_point(i)+w_point(j)

endfor

按边权升序排序；//重新编号

T=空集；

for j = 1 TO m

if T U {j} 不成环

将j加入T;

endfor

ans=T'-T

sum=0

for i in ans

sum=sum+w_edge(i)

endfor

四.算法复杂度分析

先只考虑算法中主要部分，一些常数级操作的复杂度先忽略

1.将点的权重转化为边权重复杂度为O(m)

2.采用归并排序算法进行排序复杂度为O(mlogn)

3.采用并查集方式的成环检测复杂度O(m)

4.合并更新复杂度为O(nlogn)

所以，合并后的复杂度为O(mlogn)

项目代码如下：

from collections import defaultdict
data_edge=defaultdict(list)#存储每个测试用例的每个点相关的边和邻接点
nodes=[]#每个测试用例的点集
final_edge=[]#储存每个测试用例的边和相邻的顶点
leader={}#并查集—储存每个结点的leader
size={}#并查集—每个集合的size
nodes_people_num={}#记录单独测试用例中每个结点的兵力数
key_data_edge={}#test_num个测试用例 点和兵力和邻接点数据
key_nodes_edge={}#test_num个测试用例点数数据
key_nodes_people_num={}#每test_num个测试用例中，相关的点的兵力数
def read_file(filepath,data_edge,nodes,key_data_edge,key_nodes_edge,key_nodes_people_num,nodes_people_num):#读取文件f=open(filepath,mode='r')test_num=int(f.readline())#测试用例数量for num in range(test_num):nodes_num=int(f.readline())#单独一个测试用例的点数for _ in range(nodes_num):node_a,people,neighbor_num=f.readline().split()nodes.append(node_a)#存储单独一个测试用例所有的点nodes_people_num[node_a]=int(people)#存储单独一个测试用例所有的点的兵力树for neighbor_node in f.readline().split():data_edge[node_a].append((people,node_a,neighbor_node))#存储单独一个测试用例所有的所有点的信息（一个节点兵力和他相邻的结点）key_data_edge[num]=data_edge#把test_num个测试用例的所有的所有点的信息（一个节点兵力和他相邻的结点）存储key_nodes_edge[num]=nodes#把test_num个测试用例的所有的所有点存储key_nodes_people_num[num]=nodes_people_num#把test_num个测试用例的所有的所有点兵力数存储nodes=[]#进入下一个测试用例前归零data_edge=defaultdict(list)#进入下一个测试用例前归零nodes_people_num={}#进入下一个测试用例前归零return test_num #返回测试用例的数量
def add_edge(data_edge,nodes,final_edge,nodes_people_num):#整合数据操作for i in nodes:for line in data_edge[i]:edge_size=int(line[0])+nodes_people_num[line[2]]#计算两个邻接点之间的边权final_edge.append((edge_size,i,line[2]))#以（边，邻接点1，邻接点2）的形式存储图中所有信息edge_size=0passpass
def initialize(node):#初始化集合的leader和sizeleader[node]=nodesize[node]=1
def find(node_a):#查找点node_a所在集合的leaderif leader[node_a] != node_a:leader[node_a] = find(leader[node_a])return leader[node_a]else:return leader[node_a]
def union(node_a,node_b):#合并操作leader_a=find(node_a)#找出node_a的leaderleader_b=find(node_b)#找出node_b的leaderif leader_a==leader_b:return Falseelse:if size[node_a]>size[node_b]:size[node_a]=size[node_a]+size[node_b]leader[leader_b]=leader_aelse:size[node_b]=size[node_a]+size[node_b]leader[leader_a]=leader_b
def merge(data1,data2,data): #归定排序合并操作i=0j=0while (i+j)<len(data):if j==len(data2) or(i<len(data1) and data1[i][0]>data2[j][0]):data[i+j]=data1[i]i=i+1else:data[i+j]=data2[j]j=j+1pass
def merge_sort(data):#分而治之data_length=len(data)if data_length<2:return Falsemiddle =data_length//2data1=data[0:middle]data2=data[middle:data_length]merge_sort(data1)merge_sort(data2)merge(data1,data2,data)return datapass
def kruskal(nodes,edges):for vertix in nodes:#对结点的leader和size进行初始化操作initialize(vertix)tree=[]#存储最小生成树edges_new=merge_sort(edges)#排序for i in edges_new:weight,node_a,node_b=iif find(node_a)!=find(node_b):#leader不同可以构边，点加入集合union(node_a,node_b)tree.append(i)#将这条边加入最大生成树passreturn tree
a=read_file("test-final.txt",data_edge,nodes,key_data_edge,key_nodes_edge,key_nodes_people_num,nodes_people_num)
#计算a个测试用例的的每一个
for i in range(a):add_edge(key_data_edge[i], key_nodes_edge[i], final_edge, key_nodes_people_num[i])ans = kruskal(key_nodes_edge[i], final_edge)a=0for i in ans:a += int(i[0])#计算最大生成树的边权和b = 0for k in final_edge:b += int(k[0])b=b>>1#图中总的边数之和print(b-a)final_edge=[]#上一个测试用例的数据进行清空，进入下一个测试用例计算

项目文件数据：

5
3
0 1 2
1 2
1 2 2
0 2
2 3 2
0 1
5
0 1 2
1 2
1 2 2
0 2
2 3 4
0 1 3 4
3 4 2
2 4
4 5 2
2 3
8
0 1 3
1 3 4
1 2 3
0 2 5
2 3 3
1 3 6
3 4 3
0 2 7
4 50 3
0 5 7
5 60 3
1 4 6
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3 4 6
9
0 1 8
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1 4 8
0 2 3 4 5 6 7 8
2 9 8
0 1 3 4 5 6 7 8
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4 25 8
0 1 2 3 5 6 7 8
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