动态规划——钢管切割最小代价问题

一、问题描述：

设有一根长度为L的钢条，在钢条上标有n个位置点（p1,p2,......,pn）。现在需要按钢条上标注的位置将钢条切割为n+1段，每次切割的代价为所切的钢条长度，试求在所有的切割方案中的总代价的最小值。

二、问题分析：

这是一道利用动态规划算法解决的问题，原因如下：（1）该问题具有最优子结构性质。当我们确定第一次切割的点时，切割后形成的两根小钢管也应按照最小的代价切割，否则我们拿最小代价的切割方案来代替现有切割方案，整根钢管切割的总代价将会减小，这就会产生矛盾。（2）该问题具有重叠子问题。相同的子问题会在我们确定不同切割点的时候反复出现。

三、递推关系：

我们来考察在位置点pi到位置点pj之间进行切割的情况，cost[i][j]为这个问题的总代价（i=1,2,......,n ; j=1,2,......,n），那么：

当i>j时，不需要切割：cost[i][j]=0；

当i=j时，仅有一个切割点：cost[i][j]=d(i+1)-d(i-1)；

当i<j时，有多个切割点：cost[i][j]=min{cost[i][k-1]+cost[k+1][j]+d(j+1)-d(i-1)}；其中k=i,i+1,......,j。

四、完整代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{int L,n;//L为完整钢管总长度，n为切割点的数目cout<<"请输入钢管总长度和切割点数目：";cin>>L>>n; int *p;//记录n个切割点位置坐标的数组p=new int[n+2];//多出来的2是钢管的左端点（起点）和右端点（终点）p[0]=0;p[n+1]=L;//将左端点视为原点int i,j,step;//i,j为简单的循环所需变量，step为i,j之间的步长 for(i=1;i<=n;i++){cout<<"请输入第"<<i<<"个切割点的位置坐标：" ; cin>>p[i];}sort(p,p+n+2);//将坐标从小到大排列int **cost=new int*[n+2];for(i=0;i<n+2;i++){cost[i]=new int[n+2];}//动态创建二维数组，cost[i][j]的意义见递推关系解释for(i=0;i<n+2;i++){for(j=0;j<n+2;j++){if(i>j){cost[i][j]=0;}else if(i==j && i!=0 && i!=n+1)//这些限制条件防止数组超界 {cost[i][j]=p[i+1]-p[i-1];}}}cost[0][0]=0;cost[n+1][n+1]=0;//额外初始化for(step=1;step<=n-1;step++){for(i=1;i<=n;i++){j=i+step;int CutPoint=i;//定义切点 int MyCostMin=cost[i][CutPoint-1]+cost[CutPoint+1][j]+(p[j+1]-p[i-1]);//定义最小代价 for(CutPoint=i+1;CutPoint<=j;CutPoint++){if(j<n+1)//防止数组越界 {int PreCost=cost[i][CutPoint-1]+cost[CutPoint+1][j]+(p[j+1]-p[i-1]);//定义当前代价 if(PreCost<MyCostMin){MyCostMin=PreCost;}}}cost[i][j]=MyCostMin;}}cout<<"需要的最小总代价为："<<cost[1][n];
}

五、运行结果：

动态规划——钢管切割最小代价问题相关推荐

动态规划—钢管切割问题
题目描述给一条钢管,切割成不同长度的钢管(也可以不切割),不同的钢管长度对应不同的价值,求这根钢管获得的最大价值. 输入第一行包含一个正整数L,为钢管的长度. 第二行包含L个正整数a1-aL,为长 ...
【算法导论】动态规划之“钢管切割”问题
动态规划,其实跟分治法有些相似,基本思想都是将复杂的问题分成数个简单的子问题,然后再去解决.它们的区别在于,分治法关注的子问题不相互"重叠",而动态规划关注的子问题,多是相互&qu ...
[Swust OJ 404]--最小代价树(动态规划)
题目链接:http://acm.swust.edu.cn/problem/code/745255/ Time limit(ms): 1000 Memory limit(kb): 65535 Descr ...
【动态规划】最小代价问题
最小代价问题 Description 设有一个n×m(小于100)的方格(如图所示),在方格中去掉某些点,方格中的数字代表距离(为小于100的数,如果为0表示去掉的点),试找出一条从A(左上角)到B( ...
最小代价树（动态规划）
Description 以下方法称为最小代价的字母树:给定一正整数序列,例如:4,1,2,3,在不改变数的位置的条件下把它们相加,并且用括号来标记每一次加法所得到的和. 例如:((4+1)+ (2+ ...
Day2补充：钢管切割问题
转自:https://blog.csdn.net/cyp331203/article/details/42806159 Day2补充:钢管切割问题一. 问题背景: 某公司生产长钢管,然后一般,会将钢 ...
DP之钢管切割，最长回文字符串，最长公共子串
在做LeetCode第3题的时候,用到了DP,但是自己对DP还是不了解,所以翻开算法导论,开始看动态规划喽,学好动态规划,走遍天下都不怕. 钢管切割对于一根长n米的钢管,每个长度的价格不一样,对于长 ...
SSL 1460——最小代价问题
Description 设有一个n×m(小于100)的方格(如图所示),在方格中去掉某些点,方格中的数字代表距离(为小于100的数,如果为0表示去掉的点),试找出一条从A(左上角)到B(右下角)的路径 ...
最小代价生成树Prim/Kruskal（c/c++）
常用的求最小代价生成树的方法有两种:Prim算法和Kruskal算法,这两种算法都是贪心算法的应用, Prim算法在一个无向带权图中求得最小生成树得思路是:从a顶点出发,将a放入u集合(表示已选), ...

动态规划——钢管切割最小代价问题

动态规划——钢管切割最小代价问题相关推荐

最新文章

热门文章