2018第九届蓝桥杯B组决赛题解第六题矩阵求和

标题：矩阵求和

经过重重笔试面试的考验，小明成功进入 Macrohard 公司工作。
今天小明的任务是填满这么一张表：
表有 n 行 n 列，行和列的编号都从1算起。
其中第 i 行第 j 个元素的值是 gcd(i, j)的平方，
gcd 表示最大公约数，以下是这个表的前四行的前四列：
1 1 1 1
1 4 1 4
1 1 9 1
1 4 1 16

小明突然冒出一个奇怪的想法，他想知道这张表中所有元素的和。
由于表过于庞大，他希望借助计算机的力量。

「输入格式」
一行一个正整数 n 意义见题。

「输出格式」
一行一个数，表示所有元素的和。由于答案比较大，请输出模 (10^9 + 7)(即：十亿零七) 后的结果。

「样例输入」
4

「样例输出」
48

「数据范围」
对于 30% 的数据，n <= 1000
存在 10% 的数据，n = 10^5
对于 60% 的数据，n <= 10^6
对于 100% 的数据，n <= 10^7

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms

思路：数论题,莫比乌斯反演. 感谢队友cc的大力支持~

#include<bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
const int maxn = 1e7+7;
const double esp = 1e-12;
const int ff = 0x3f3f3f3f;
map<int,int>::iterator it;ll inv6;int mu[maxn],vis[maxn],pri[maxn],len;
void init() {memset(vis, 0, sizeof vis);mu[1] = 1; len = 0;for (int i = 2; i < maxn; ++i) {if (!vis[i]) {pri[len++] = i;mu[i] = -1;}for (int j = 0; j < len && i * pri[j] < maxn; ++j) {vis[i * pri[j]] = 1;if (i % pri[j]) mu[i * pri[j]] = -mu[i];else {mu[i * pri[j]] = 0;break;}}}for(int i = 1; i < maxn; i++){mu[i]+=mu[i-1];}
}//解决 gcd([1,n],[1,n]) == 1 的个数
ll dp[maxn];
ll solveGcd(ll n)
{ll ans = 0;int j;for(ll i = 1; i <= n; i=j+1){j = n/(n/i);ll tmp = (n/i)*(n/i);if(tmp >= mod) tmp %= mod;ans += (ll)(mu[j]-mu[i-1])*tmp;if(ans >= mod) ans %= mod;}return ans;
}ll qm(ll a, ll n){ll ans = 1;while(n){if(n%2){ans = ans*a%mod;}a = a*a%mod;n/=2LL;}return ans;
}inline ll sump2(ll n)
{return n*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod*inv6%mod;
}int main()
{inv6 = qm(6,mod-2);init();ll n;n = 10000000;ll ans = 0;ll j;for(ll i = 1; i <= n; i=j+1){j = n/(n/i);ans += solveGcd(n/i)*(sump2(j)-sump2(i-1)+mod)%mod;if(ans >= mod) ans %= mod;}cout << ans << endl;return 0;
}

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