数论学习六之——欧拉定理（欧拉降幂）

我们现在就来学习数论四大定理中的最后一个定理，欧拉定理。
首先我们先介绍一下什么是欧拉函数，欧拉函数 φ ( n ) \varphi(n) φ(n)求的是不超过n且与n互素的正整数的个数，例如： φ ( 4 ) = 2 \varphi(4) = 2 φ(4)=2， φ ( 6 ) = 3 \varphi(6) = 3 φ(6)=3。
具体的欧拉公式如下：
φ ( x ) = x ( 1 − 1 p 1 ) ( 1 − 1 p 2 ) ( 1 − 1 p 3 ) . . . ( 1 − 1 p i ) φ (x) = x(1 - \frac{1}{p_1})(1 - \frac{1}{p_2})(1 - \frac{1}{p_3})...(1 - \frac{1}{p_i}) φ(x)=x(1−p11)(1−p21)(1−p31)...(1−pi1)这里的 p i p_i pi指的是 x x x的所有质因子(特别注意：每个因子在套用欧拉公式的个数为一个)。
举个例子： 12 = 2 ∗ 2 ∗ 3 12 = 2 * 2 * 3 12=2∗2∗3,那么转化为其欧拉公式则为:
y ( 12 ) = 12 ∗ ( 1 − 1 2 ) ∗ ( 1 − 1 3 ) y(12) = 12*(1 - \frac{1}{2})*(1 - \frac{1}{3}) y(12)=12∗(1−21)∗(1−31)
之后我们再来介绍下欧拉定理及其推论：
欧拉定理：如果n和a是互素的正整数，则 a φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) a^{\varphi(n)}\equiv1(\mod\ n) aφ(n)≡1(mod n)
推论:如果n和a是互素的正整数，则 a φ ( n ) + 1 ≡ a ( m o d n ) a^{\varphi(n)+1}\equiv a(\mod\ n) aφ(n)+1≡a(mod n)
准确的说欧拉定理在信息学最大的应用就是欧拉降幂
然后我们就可以开始讲欧拉降幂啦！下式就是欧拉降幂的公式：
A B m o d C ≡ A B m o d φ ( C ) + φ ( C ) m o d C A^B mod C ≡ A^{Bmodφ (C) + φ (C)}mod C ABmodC≡ABmodφ(C)+φ(C)modC（其中 φ ( C ) φ(C) φ(C)就是欧拉公式）
那么，我们怎么用代码实现呢
答案是：欧拉公式 + + +快速幂，下面我们给出其模板代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;ll ouler(ll n)           //欧拉公式
{ll ans = n;ll a = n;for(int i=2;i*i<=n;i++){if(a % i == 0){ans = ans/i*(i - 1);while(a%i == 0)a /= i;}}if(a > i)ans = ans/a*(a - 1);return ans;
}ll fast(ll a, ll b, ll mod)            //快速幂
{ll res = 1;while(b){if(b & 1)res = (res * a) % mod;a = (a * a) % mod;b >>= 1;}return res;
}

这里只是给出了简易的的欧拉降幂模板，具体是实践可以参考2019年icpc
南京网络赛的B题，如果你能知晓欧拉降幂，那么这题做起来将会非常简单。

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