解线性方程组之LU分解算法实现

一：实验目的：
1. 掌握LU分解算法原理；
2. 使用C语言编程实现LU分解算法。
二：实验要求
用LU分解算法求解给定的线性方程组。
函数接口定义：
bool Direct( int n, double a[][MAX_SIZE], double b[] )。
在Direct的接口定义中，n为矩阵a的维数，MAX_SIZE是由裁判程序定义的矩阵最大维数，b是方程组中的常向量，求得的解将存储在b中返回。本题目要求先用杜利特尔分解，再求解两个三角型方程组。函数返回布尔型值，当求解成功时返回TRUE，否则返回FALSE。
实验代码：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>#define MAX_SIZE 100 /* 矩阵最大维数 */
#define ZERO 0.000000001 /* 当一个正数小于ZERO就认为该数是0 */int Direct( int n, double a[][MAX_SIZE], double b[] )
{double L[MAX_SIZE][MAX_SIZE],U[MAX_SIZE][MAX_SIZE];double y[MAX_SIZE];int i,j,k;double t;for(i=0;i<n;i++){/*对LU矩阵进行初始化操作*/L[i][i]=1;U[0][i]=a[0][i];for(j=i+1;j<n;j++){L[i][j]=0;U[j][i]=0;}}for(i=0;i<n;i++){/*求解L矩阵*/for(k=i+1;k<n;k++){t=0;for(j=0;j<i;j++)t=t+L[k][j]*U[j][i];t=a[k][i]-t;if(t!=0&&U[i][i]==0)//判断分母是否为零return 0;L[k][i]=t/U[i][i];}/*求解U矩阵*/for(k=i+1;k<n;k++){t=0;for(j=0;j<=i;j++)t=t+L[i+1][j]*U[j][k];t=a[i+1][k]-t;U[i+1][k]=t/L[i+1][i+1];}}/*求解线性方程组LY=b*/for(i=0;i<n;i++){t=0;for(j=0;j<i;j++)t=t+L[i][j]*y[j];y[i]=b[i]-t;}//for(i=0;i<n;i++)//  {//  printf(".8lf\n",y[i]);// }/*通过回代法求解线性方程组UX=Y，并将结果放入b[]中*/for(i=n-1;i>=0;i--){t=0;for(j=i+1;j<n;j++)t=t+U[i][j]*b[j];t=y[i]-t;if(t!=0&&U[i][i]==0)//判断分母是否为零return 0;b[i]=t/U[i][i];}return 1;
}int main()
{int n, i, j;double a[MAX_SIZE][MAX_SIZE], b[MAX_SIZE];while ( scanf("%d", &n) != EOF ) { /* 读取裁判测试用例 */for ( i=0; i<n; i++ ) {for ( j=0; j<n; j++ )scanf("%lf", &a[i][j]);scanf("%lf", &b[i]);}/*--- 输出直接法的解 ---*/if ( Direct(n, a, b) ) {printf("Result of direct method:\n");for ( j=0; j<n; j++ )printf("%.8lf\n", b[j]);}elseprintf("Doolittle factorization failed.\n");printf("\n");}return 0;
}

实验结果：

心得体会：

主要是通过等式两边对于元素相等，来将矩阵A分解为一个单位下三角矩阵L和上三角矩阵U。例如

1:通过比较等式两边第一行和第一列可以分别得出：

U(1,j)=a(1,j)(j=1…n)

L(i,1)=a(i,1)/U(1,1)(i=2,..,n)

2:通过比较等式两边第二行和第二列可以得出

U(2,j)=a(i,2)-l(2,1)*U(1,j) j=2,..,n

L(i,2)=(a(i,2)-l(i,1)*U(1,2))/U(2,2) i=3,…,n

因此类推可以得出：

（j=k…,n）

(i=k+1,…,n)

依次到第n步即可求出矩阵L和矩阵U中的所有元素。

在求得LU后,原方程组AX=b即可变为LUX=b的形式。在令UX=Y。

所有原式可以变成：LY=b,和UX=Y。两个线性方程组。又因为LU分别为下三角矩阵和上三角矩阵，因此可以通过直接d代入法求出Y，然后通过回代法求出X。

2：LU分解其实本质是高斯消元法的一种表达形式。实质上是将A通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。因此若矩阵A可以进行LU分解则应该满足A的顺序主子式不等于零。

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