1. 前置知识
- 1.1. 规范正交系
- 1.2. Gram-Schmidt规范正交化方法
2. Hilbert 基和 Fourier 级数
- 2.1. 可分Hilbert空间的 Fourier级数
- 2.2. 常见的傅里叶级数
  - 2.2.1. 正余弦
  - 2.2.2. 复数
3. 自伴算子
- 3.1. 自伴算子的性质
- 3.2. 紧自伴算子的谱定理

1. 前置知识

1.1. 规范正交系

设 (X,(⋅,⋅))(X,(\cdot,\cdot))(X,(⋅,⋅)) 是实或复的内积空间，由 ei∈Xe_i\in Xei∈X 组成的元素系 (ei)i∈I(e_i)_{i\in I}(ei)i∈I 称之为规范正交系，是指对所有的的 i,j∈Ii,j\in Ii,j∈I 均有
(ei,ej)=δij(e_i,e_j) = \delta_{ij}(ei,ej)=δij
（就是相互正交的单位向量呗。。。）

如果 (ei)i∈I(e_i)_{i\in I}(ei)i∈I 是内积空间X的规范正交系，如果 Span(ei)i∈I‾=X\overline{Span(e_i)_{i\in I}} = XSpan(ei)i∈I=X ，那么它是极大的（拥有向量个数最多）

可分内积空间中： 设 (X,(⋅,⋅))(X,(\cdot,\cdot))(X,(⋅,⋅)) 是可分的无限维内积空间，有

存在可数无限个向量 en∈Xe_n\in Xen∈X 组成的极大规范正交系 (en)n=0∞(e_n)_{n=0}^\infty(en)n=0∞。
任何规范正交系或为有限，或为可数无限（可数无限就是可列举但是无穷多的意思）

存在性： 设 (X,(⋅,⋅))(X,(\cdot,\cdot))(X,(⋅,⋅)) 是内积空间，则存在向量 ei∈Xe_i\in Xei∈X 组成的向量族 (ei)i∈I(e_i)_{i\in I}(ei)i∈I 满足对任何的 i,j∈Ii,j\in Ii,j∈I ,
(ei,ej)=δij(e_i,e_j)=\delta_{ij}(ei,ej)=δij
且对 x∈Xx\in Xx∈X ，若对所有的 i∈Ii\in Ii∈I 均有当 (x,ei)=0(x,e_i) = 0(x,ei)=0 时，则必有 x=0x=0x=0

1.2. Gram-Schmidt规范正交化方法

这个线代里面肯定学了
在 (X,(⋅,⋅))(X,(\cdot,\cdot))(X,(⋅,⋅)) 实或复的无限维内积空间中， (fn)n=0∞(f_n)_{n=0}^\infty(fn)n=0∞ 可列为无限个向量 fn∈Xf_n\in Xfn∈X 组成的线性无关向量族，令
x~:=f0,ek~=fk−Pkfk,k=1,2,…\tilde{x}:=f_0 ,\tilde{e_k} = f_k - P_kf_k,k=1,2,\dotscx~:=f0,ek~=fk−Pkfk,k=1,2,…

其中 PkP_kPk 为X到 Span(fn)n=0k−1Span~(f_n)_{n=0}^{k-1}Span (fn)n=0k−1 上的投影算子，那么对所有的 k≥1,e~k≠0k\ge 1,\tilde{e}_k\not ={0}k≥1,e~k=0 ,记向量
en:=en~∣∣e~n∣∣,n≥0e_n:=\frac{\tilde{e_n}}{||\tilde e_n||},n\ge 0en:=∣∣e~n∣∣en~,n≥0
则向量族 (en)n=0∞(e_n)_{n=0}^{\infty}(en)n=0∞ 是规范正交系，满足对一切 k≥1k\ge 1k≥1 有
Span(en)n=0k=Span(fn)n=0kSpan(e_n)_{n=0}^k = Span(f_n)_{n=0}^kSpan(en)n=0k=Span(fn)n=0k
Span(en)n=0∞=Span(fn)n=0∞Span(e_n)^\infty_{n=0}=Span(f_n)_{n=0}^\inftySpan(en)n=0∞=Span(fn)n=0∞

2. Hilbert 基和 Fourier 级数

Hilbert 基 Hilbert空间X中的极大规范正交系被称为X的Hilbert基

2.1. 可分Hilbert空间的 Fourier级数

若 (X,(⋅,⋅))(X,(\cdot,\cdot))(X,(⋅,⋅)) 是无限维可分 Hilbert 空间， (en)n=1∞(e_n)_{n=1}^\infty(en)n=1∞ 是X的一个Hilbert基

∀x∈X,x=∑n=1∞(x,en)en\forall x\in X , x = \sum_{n=1}^\infty (x,e_n)e_n∀x∈X,x=∑n=1∞(x,en)en ，这被称之为傅里叶级数。
对 n≥1n\ge 1n≥1 ，数 (x,en)∈K(x,e_n)\in \mathbb{K}(x,en)∈K 称之为x 的傅里叶系数，满足Parseval公式 ∣∣x∣∣2=∑n=1∞∣(x,en)∣2||x||^2 = \sum_{n=1}^\infty |(x,e_n)|^2∣∣x∣∣2=∑n=1∞∣(x,en)∣2 （啊这，Parseval能量公式？熟悉的信号与系统）
若 (X,(⋅,⋅))(X,(\cdot,\cdot))(X,(⋅,⋅)) ，为实或复的无限维可分 Hilbert 空间，则存在从X到实或相应复空间 l2l^2l2 上的线性双射 σ\sigmaσ ，使得对任何 x,y∈Xx,y\in Xx,y∈X , (x,y)X=(σx,σy)l2(x,y)_X = (\sigma x,\sigma y)_{l^2}(x,y)X=(σx,σy)l2 ，因此借助于保持内积的线性灯具，任何无限维可分Hilbert 空间恒同于空间 l2l^2l2 。

2.2. 常见的傅里叶级数

2.2.1. 正余弦

ak:=1π∫02πg(ϕ)cos⁡kϕdϕ,k≥0a_k:=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} g(\phi) \cos k\phi d\phi,k\ge 0ak:=π1∫02πg(ϕ)coskϕdϕ,k≥0
bk:=1π∫02πg(ϕ)sin⁡kϕdϕ,k≥1b_k:= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} g(\phi) \sin k\phi d\phi,k\ge 1bk:=π1∫02πg(ϕ)sinkϕdϕ,k≥1
(Sng)(θ):=a02+∑k=1n(akcos⁡kθ+bksin⁡kθ),0≤θ≤2π(S_ng)(\theta):= \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k\cos k\theta + b_k\sin k\theta),0\le\theta\le 2\pi(Sng)(θ):=2a0+∑k=1n(akcoskθ+bksinkθ),0≤θ≤2π

2.2.2. 复数

ck:12π∫02πg(ϕ)e−ikϕdϕ,k≥0c_k:\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(\phi)e^{-ik\phi} d\phi,k\ge 0ck:2π1∫02πg(ϕ)e−ikϕdϕ,k≥0
gn(θ)=∑k=−nnckeikθ,0≤θ≤2πg_n(\theta) = \sum_{k=-n}^n c_k e^{ik\theta},0\le \theta\le 2\pign(θ)=∑k=−nnckeikθ,0≤θ≤2π

这两个理工科应该都贼熟了！！
不多赘述。

3. 自伴算子

设 (X,(⋅,⋅))(X,(\cdot,\cdot))(X,(⋅,⋅)) 是 K\mathbb{K}K 上的内积空间，如果线性算子 A:X→XA:X\to XA:X→X 和它的伴随算子 A∗A^*A∗
相等，即对 ∀x,y∈X,(Ax,y)=(x,Ay)\forall x,y\in X,(Ax,y) = (x,Ay)∀x,y∈X,(Ax,y)=(x,Ay) 则称A是自伴算子。当 K=R\mathbb{K=R}K=R 时候也称作对称算子，当 K=C\mathbb{K=C}K=C 也称作 Hermite算子。

(啊这很像厄米算符的解释啊)

简而言之，就是一个算子的伴随算子((Ax,y)=(x,A∗y)(Ax,y) = (x,A^*y)(Ax,y)=(x,A∗y))还是自身，那它就是一个自伴算子。

正定和非负定： 如果对所有 x∈Xx\in Xx∈X 均有 (Ax,x)≥0(Ax,x) \ge 0(Ax,x)≥0 则称A为非负定的，如果对所有的非零的 x∈Xx\in Xx∈X 均有 (Ax,x)>0(Ax,x) > 0(Ax,x)>0 ，称A为正定的。正定A的 KerA={0}Ker ~~ A = \{0\}Ker A={0}

3.1. 自伴算子的性质

如果 (X,(⋅,⋅))(X,(\cdot,\cdot))(X,(⋅,⋅)) 是内积空间， A:X→XA:X\to XA:X→X 是自伴线性算子，有

对任何 x∈Xx\in Xx∈X ，数 (Ax,x)(Ax,x)(Ax,x) 是实的
设 λ\lambdaλ 为 A 的任意的特征值，则 λ\lambdaλ 必是实数，若A是非负定，则 λ≥0\lambda \ge 0λ≥0 ;若A是正定的，则 λ>0\lambda >0λ>0
对应于不同特征值的特征向量相互正交
如果 A∈L(X)A\in \mathcal{L}(X)A∈L(X) ,A的算子范数，即 ∣∣A∣∣:=supx≠0∣∣Ax∣∣∣∣x∣∣||A||:= sup _{x\not ={0}} \frac{||Ax||}{||x||}∣∣A∣∣:=supx=0∣∣x∣∣∣∣Ax∣∣ ，也可由 ∣∣A∣∣=supx≠0(Ax,x)∣∣x∣∣2||A|| = sup_{x\not ={0}} \frac{(Ax,x)}{||x||^2}∣∣A∣∣=supx=0∣∣x∣∣2(Ax,x) 给出

3.2. 紧自伴算子的谱定理

紧线性算子： 线性算子 A:X→YA:X\to YA:X→Y 是线性算子，如果X中任何有界子集在A作用下的像是Y中的相对紧子集，即当B在X中有界时， A(B)←\overleftarrow{A(B)}A(B) 是紧集，A是紧算子。（最接近有限维空间的线性算子了）
(紧算子把有界子集映射为Y中的相对紧子集)

紧自伴算子自然就是又紧又自伴的线性算子。

无限维值域的紧自伴算子的谱定理： 设 (X,(⋅,⋅))(X,(\cdot,\cdot))(X,(⋅,⋅)) 为无限维内积空间， A:X→XA:X\to XA:X→X 是紧自伴算子，具有无限维的值域，则有

1. 存在A的特征值的无限序列 (λn)n=1∞(\lambda_n)_{n=1}^\infty(λn)n=1∞ 和相应的特征向量的无限序列 (pn)n=1∞(p_n)_{n=1}^\infty(pn)n=1∞ ，满足
- ∣λ1∣=∣∣A∣∣,λ1≥λ2≥…≥∣λn∣≥…|\lambda_1| = ||A||,\lambda_1\ge \lambda_2\ge\dotsc \ge |\lambda_n| \ge \dotsc∣λ1∣=∣∣A∣∣,λ1≥λ2≥…≥∣λn∣≥…
- λn≠0,n≥1;lim⁡n→∞λn=0\lambda_n\not ={0},n\ge 1;\lim_{n\to \infty} \lambda_n = 0λn=0,n≥1;limn→∞λn=0
- Apn=λnpn,n≥1Ap_n = \lambda_n p_n,n\ge 1Apn=λnpn,n≥1
- (pk,pl)=δk,l,k,l≥1(p_k,p_l) = \delta_{k,l},k,l\ge 1(pk,pl)=δk,l,k,l≥1
- ∣λ1∣=∣(Ap1,p1)∣∣∣p1∣∣2=supx≠0∣(Ax,x)∣∣∣x∣∣2|\lambda_1| = \frac{|(Ap_1,p_1)|}{||p_1||^2} = sup_{x\not ={0}} \frac{|(Ax,x)|}{||x||^2}∣λ1∣=∣∣p1∣∣2∣(Ap1,p1)∣=supx=0∣∣x∣∣2∣(Ax,x)∣
- ∣λn∣=∣(Apn,pn)∣∣∣pn∣∣2=supx≠0,(x,pk)=0,1≤k≤n−1∣(Ax,x)∣∣∣x∣∣2,n≥2|\lambda_n| = \frac{|(Ap_n,p_n)|}{||p_n||^2} = \mathop{sup}\limits_{x\not ={0},(x,p_k) = 0,~~1\le k \le n-1} \frac{|(Ax,x)|}{||x||^2},n\ge 2∣λn∣=∣∣pn∣∣2∣(Apn,pn)∣=x=0,(x,pk)=0, 1≤k≤n−1sup∣∣x∣∣2∣(Ax,x)∣,n≥2
1. 对任何向量 x∈Xx\in Xx∈X, Ax=∑n=1∞λn(x,pn)pnAx=\mathop{\sum}\limits_{n=1}^\infty \lambda_n(x,p_n)p_nAx=n=1∑∞λn(x,pn)pn
1. 设 λ\lambdaλ 为 A 的任何非零特征值，则存在 n≥1n\ge 1n≥1 ,使得 λn=λ\lambda_n = \lambdaλn=λ ，而且集合 I(λ):={n≥1;λn=λ}I(\lambda):=\{n\ge 1;\lambda_n = \lambda \}I(λ):={n≥1;λn=λ} 是有限集， {p∈X;Ap=λp}=Span(pn)n∈I(λ)\{p\in X;Ap=\lambda p\} = Span (p_n)_{n\in I(\lambda)}{p∈X;Ap=λp}=Span(pn)n∈I(λ)
1. A的核空间为 KerA=(Span(pn)n=1∞)⊥Ker ~~A = (Span(p_n)_{n=1}^\infty)^\perpKer A=(Span(pn)n=1∞)⊥

啊这，好多啊。
1说明的应该是存在这样一个特征值和特征向量序列，然后这些特征值是按大小排列的，而特征向量则是构成了一族正交基。
2则是经过A得到的Ax可以被分解为特征向量的线性组合，并给出了系数。
3是说不会有无穷多个重复的特征值嘛。
4则是A的核空间由特征值对应的特征向量张成的子空间的直交补。

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