Levy过程

加法过程

无限可分性

Levy过程

在概率论中，以法国数学家PaulLévy的名字命名的Lévy process（Levy过程）是具有独立的，固定的增量的随机过程：它表示点的运动，其连续位移是随机的，两个不相交的时间间隔中的位移是独立的，并且在相同长度的不同时间间隔内的位移和位移具有相同的概率分布。 Lévy过程因此可以被看作是随机游走的连续时间模拟。 Levy过程的最著名示例是维纳过程（通常称为布朗运动过程）和泊松过程。 其他重要示例包括Gamma过程，Pascal过程和Meixner过程。 除了带有漂移的布朗运动之外，所有其他适当的（不是确定性的）Lévy过程都具有不连续的路径。 所有Lévy过程都是加性过程。

具体的通过数学形式定义如下：

存在一个随机过程 $X=\{X_{t}:t\geq 0\}$ 被称为Levy过程，则其存在以下性质：

$X_{0}=0$ ；
独立增量，对于任何 $0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq \cdot \cdot \cdot \leq t_{n}\leq \infty$ ，相应的位移增量 $X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{4}},\cdot\cdot\cdot,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$ 是相互独立的；
平稳增量，对于任何 $s<t$ ， $X_{t}-X_{s}$ 的概率分布仅取决于时间的间隔长度 $t-s$ ，且在相同长度时间间隔上的增量是均匀分布的。增量在维纳过程中的概率分布是正态的，而在泊松分布中的概率分布是泊松的；
概率的连续性，对于任何 $\epsilon>0$ ， $t\geq 0$ ，满足 $\lim_{h\rightarrow0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\epsilon)=0$ ；
无限可分性，给定任意整数n，Levy过程在时间t的规律可以表示为n个独立随机增量的规律，单个随机增量长度由 $t/n$ 时间间隔内的Levy过程决定，其性质符合Levy过程性质的2和3。相反，对于每个无限可分的概率分布，存在一个概率过程X，使得 $X_{1}$ 的规律由F给出。

如果 $X$ 一个列维过程，则可以构造另一个过程，此过程使得 $t \mapsto X_{t}$ 几乎肯定是具有左边界的右连续的。

有限长度的列维过程的矩 $\mu_{n}(t)=E(X_{t}^{n})$ ，是一个t的多项式，其满足：

$\mu_{n}(t+s)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\mu_{k}(t)\mu_{n-k}(s)$

Levy过程的分布规律可以通过特征函数来表示，特征函数为Levy-Khintchine formula：如果 $X=(X_{t})_{t\geq0}$ 是一个Levy过程，那么其特征函数 $\varphi_{X}(\theta)$ 为：

$\varphi_{X}(\theta)(t):=\mathbb{E}[e^{i\theta X(t)}]=exp(t(ai\theta-\frac{1}{2}\sigma^{2}\theta^{2}+\int_{mathbb{R}\backslash \{0\}}(e^{i\theta x}-1-i\theta xI_{|x|<1})\Pi (dx)))$

其中 $a\in \mathbb{R}$ ， $\sigma\geq0$ ， $\Pi$ 是σ-finite measure（也被叫做 $X$ 过程的Levy measure），满足：

$\int_{\mathbb{R}\backslash\{0\}}\min(1,x^{2})\Pi(dx)<\infty$

其中 $I$ 为示性函数（indicator function）。由于特征函数唯一地确定其潜在的概率分布，因此每个Lévy过程都由“ Lévy–Khintchine三元组”（ $a,\sigma^{2}\Pi$ ）唯一地确定。此三元组的参数表明，可以将Lévy过程视为具有三个独立的分量：线性漂移（linear drift），布朗运动和Lévy跳跃过程，如下所述。由此可以立即得出：唯一的（不确定的）连续的Lévy过程是带有漂移的布朗运动。同样，每个Lévy流程都是一个半鞅（semimartingale）。

加法过程

在概率论中，加法过程（additive process）是cadlag的（指在实数集上，有右连续和左极限），它在概率随机过程中以独立的增量连续。加性过程是Lévy过程的一般化（Lévy过程是具有相同分布增量的加性过程）。加法过程的一个例子是布朗运动，其漂移与时间有关。保罗·列维（PaulLévy）在1937年提出了加法过程。加性过程在定量金融（该系列过程可以捕获隐含波动率的重要特征）和数字图像处理中有应用。

加性过程是对Lévy过程的一般化，该过程简化了相同分布增量的假设。由于具有此功能，加性法比Lévy法可描述更复杂的现象。 $\mathbb{R}^{d}$ 上的随机过程 $\{X_{t}\}_{t\geq0}$ 如果满足以下假设，则它是加法过程：

它具有独立的增量;
它的概率分布是连续的。

无限可分性

在概率论中，如果可以将概率分布表示为任意数量的独立且均匀分布（简写为i.i.d.）随机变量之和的概率分布，则该概率分布是无限可分的。任何无限可分分布的特征函数都称为无限可分特征函数。更严格地说，如果对于每个正整数n，都存在n（为i.i.d.），则概率分布F是无限可分的。随机变量 $X_{n1},\cdot \cdot \cdot,X_{nn}$ ，它们的总和 $S_{n}=X_{n1}+\cdot\cdot\cdot+X_{nn}$ 具有相同的分布F。

概率分布的无限可分性的概念是由Bruno de Finetti于1929年提出的。分布的这种分解类型用于概率和统计中，以找到概率分布族，这对于某些模型或应用程序可能是自然选择。在极限定理的背景下，具有无限可分性的分布在概率论中起着重要作用。

每个无限可分的概率分布都自然地对应于Lévy过程。如果 $X=\{X_{t}:t\geq 0\}$ 是一个Lévy过程，那么对于任何 $t\geq0$ ，随机变量 $X_{t}$ 将被无限整除：对于任何n，我们可以选择 $(L_{n1},L_{n2},\cdot \cdot \cdot,L_{nn})=(X_{t/n}-L_{0},X_{2t/n}-L_{t/n},X_{t}-L_{(n-1)t/n})$ 。类似地， $X_{t}-X_{s}$ 对于任何 $s<t$ s <t都是无限可分的。另一方面，如果F是一个无限可整的分布，我们可以从中构造一个Lévy进程 $X=\{X_{t}:t\geq 0\}$ 。对于任何间隔 $[s,t]$ ，其中 $t-s\geq0$ 等于有理数 $p/q$ ，我们可以定义 $X_{t}-X_{s}$ 与 $L_{q1}+L_{q2}+\cdot\cdot\cdot+L_{qp}$ 具有相同的分布。当 $t-s\geq0$ 是无理数时，可以通过连续性参数来处理。

加法过程也是无限可分的。其性质与上面关于Levy过程的论述类似。

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