【例1】递归三角形图案。

输入一个正整数n（n<=7），按图1的示例输出相应的由星号组成的三角形图案。

图1  n分别为2、3、4、5的三角形图案

（1）编程思路。

根据题目示例可知，度数为n的三角形图案，将占2^n-1行2^n-1列，可以用一个二维字符数组来存储图形中各个字符，因为n<=7，而2⁶=64，因此可以定义一大小为64*64的字符数组来存储度数不超过7的图形。

图2

度数n为4的三角形图案在二维数组中的存储情况如图2所示。由图2可知，度数为4的图案可以由度数为3的图案（图2中蓝色底纹所示）复制而来，即在其右方和正下方分别是一个度数为3的图案。

因此，度数为n的图形G(n)可以由以下递归式子表示：

G(n - 1)        G(n - 1)

G(n - 1)

设递归函数void draw(int n,int x,int y)表示在（x，y）位置开始设置度数为n的图形，它由3个度数为n-1的图形组成，其起始位置分别为：（x，y）、（x，y+2^n-2）和（x+2^n-2，y）。

该递归函数的结束条件是：当n=1时（即度数为1的图形），只需在（x，y）位置设置一个字符'*'即可。

（2）源程序。

#include <iostream>

using namespace std;

#define N 64

void draw(char a[][N], int n, int row, int col)

{

if(n==1){

a[row][col] = '*';

return;

}

int w = 1;

int i;

for(i=1; i<=n-2; i++) w *= 2;

draw(a, n-1, row, col);

draw(a, n-1, row, col+w);

draw(a, n-1, row+w,col);

}

int main()

{

char a[N][N];

int n,w,i,j;

for(i=0;i<N;i++)

for(j=0;j<N;j++)

a[i][j] = ' ';

cin>>n;

w=1;

for(i=1; i<=n-1; i++) w *= 2;

draw(a,n,0,0);

for(i=0; i<w; i++)

{

for(j=0; j<w; j++)

cout<<a[i][j]<<" ";

cout<<endl;

}

return 0;

}

【例2】打印图形（2014年第5届蓝桥杯省赛试题）。

小明在X星球的城堡中发现了如下图形：

编写一个程序，实现该图形的打印。

（1）编程思路。

度数n为4的图案在二维数组中的存储情况如图3所示。由图3可知，度数为4的图案可以由3个度数为3的图案（图3中分别用绿色、浅绿色和黄色蓝色底纹所示）。

因此，度数为n的图形G(n)可以由以下递归式子表示：

G(n - 1)

G(n - 1)      G(n - 1)

设递归函数void draw(int n,int x,int y)表示在（x，y）位置开始设置度数为n的图形，它由3个度数为n-1的图形组成，其起始位置分别为：（x，y+2^n-2）、（x+2^n-2，y）和（x+2^n-2，y+2^n-1）。

该递归函数的结束条件是：当n=1时（即度数为1的图形），只需在（x，y）位置设置一个字符'*'即可。

（2）源程序。

#include <stdio.h>

#define N 70

void f(char a[][N], int rank, int row, int col)

{

if(rank==1){

a[row][col] = '*';

return;

}

int w = 1;

int i;

for(i=0; i<rank-1; i++) w *= 2;

f(a, rank-1, row, col+w/2);

f(a, rank-1, row+w/2, col);

f(a, rank-1, row+w/2, col+w);

}

int main()

{

char a[N][N];

int i,j,x,w;

for(i=0;i<N;i++)

for(j=0;j<N;j++) a[i][j] = ' ';

scanf("%d",&x);

w=1;

for(i=0; i<x-1; i++) w *= 2;

f(a,x,0,0);

for(i=0; i<w; i++){

for(j=0; j<2*w; j++) printf("%c",a[i][j]);

printf("\n");

}

return 0;

}

【例3】打印图形（2018年第9届蓝桥杯省赛试题）。（原题是填空题）

编写一个程序，在控制台绘制分形图（就是整体与局部自相似的图形）。

当n=1,2,3的时候，输出如下：

      （1）编程思路。

度数为n的图形，其大小是3ⁿ*3ⁿ，可以用字符数组来存储图形中各个字符。

度数为n的图形可以有以下递归式子表示：

B(n - 1)

B(n - 1)  B(n - 1)   B(n - 1)

B(n - 1)

设递归函数void draw(int n,int x,int y)表示在（x，y）位置开始设置度数为n的图形，它由5个度数为n-1的图形组成，其起始位置分别为：（x+s，y）、（x，y+s）、（x+s，y+s）、（x+2*s，y+s）和（x+s，y+2*s），其中s=3^(n-1)。

（2）源程序。

#include <iostream>

using namespace std;

#define N 729

void draw(char a[][N], int n, int row, int col)

{

if(n==0){

a[row][col] = 'O';

return;

}

int w = 1;

int i;

for(i=1; i<=n-1; i++) w *= 3;

draw(a,n-1, row+w, col);

draw(a,n-1, row, col+w);

draw(a,n-1, row+w,col+w);

draw(a,n-1, row+2*w, col+w);

draw(a,n-1, row+w,col+2*w);

}

int main()

{

char a[N][N];

int n,w,i,j;

for(i=0;i<N;i++)

for(j=0;j<N;j++)

a[i][j] = ' ';

cin>>n;

w=1;

for(i=1; i<=n; i++) w *= 3;

draw(a,n,0,0);

for(i=0; i<w; i++)

{

for(j=0; j<w; j++)

cout<<a[i][j];

cout<<endl;

}

return 0;

}

（3）蓝桥杯填空题给出的源程序。（请自己阅读体会）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
void show(char* buf, int w)
{
    int i,j;
    for(i=0; i<w; i++)  {

for(j=0; j<w; j++)   {

printf("%c", buf[i*w+j]==0? ' ' : 'o');
         }
         printf("\n");
    }
}
void draw(char* buf, int w, int x, int y, int size){
     if(size==1){
           buf[y*w+x] = 1;
           return;
      }
      int n = size/3 ;       // 填空         
      draw(buf, w, x, y, n);
      draw(buf, w, x-n, y ,n);
      draw(buf, w, x+n, y ,n);
      draw(buf, w, x, y-n ,n);
      draw(buf, w, x, y+n ,n);
}
int main()
{
     int N = 3;
     int t = 1;
     int i;
     for(i=0; i<N; i++) t *= 3;
     char* buf = (char*)malloc(t*t);
     for(i=0; i<t*t; i++) buf[i] = 0;
     draw(buf, t, t/2, t/2, t);
     show(buf, t);
     free(buf);
     return 0;
}

【例4】Fractal（POJ 2083）。

Description

A fractal is an object or quantity that displays self-similarity, in a somewhat technical sense, on all scales. The object need not exhibit exactly the same structure at all scales, but the same "type" of structures must appear on all scales.

A box fractal is defined as below :

A box fractal of degree 1 is simply

X

A box fractal of degree 2 is

X X

X

X X

If using B(n - 1) to represent the box fractal of degree n - 1, then a box fractal of degree n is defined recursively as following

B(n - 1)        B(n - 1)

B(n - 1)

B(n - 1)        B(n - 1)

Your task is to draw a box fractal of degree n.

Input

The input consists of several test cases. Each line of the input contains a positive integer n which is no greater than 7. The last line of input is a negative integer −1 indicating the end of input.

Output

For each test case, output the box fractal using the 'X' notation. Please notice that 'X' is an uppercase letter. Print a line with only a single dash after each test case.

Sample Input

3

4

-1

Sample Output

X X   X X

X     X

X X   X X

X X

X

X X

X X   X X

X     X

X X   X X

-

X X   X X         X X   X X

X     X           X     X

X X   X X         X X   X X

X X               X X

X                 X

X X               X X

X X   X X         X X   X X

X     X           X     X

X X   X X         X X   X X

X X   X X

X     X

X X   X X

X X

X

X X

X X   X X

X     X

X X   X X

X X   X X         X X   X X

X     X           X     X

X X   X X         X X   X X

X X               X X

X                 X

X X               X X

X X   X X         X X   X X

X     X           X     X

X X   X X         X X   X X

-

（1）编程思路。

度数为n的图形，其大小是3^(n-1)*3^(n-1)，可以用字符数组来存储图形中各个字符，因为n<=7，而3^6=729，因此可以定义一大小为731*731的字符数组来存储度数不超过7的图形。

度数为n的图形可以有以下递归式子表示：

B(n - 1)        B(n - 1)

B(n - 1)

B(n - 1)        B(n - 1)

设递归函数void draw(int n,int x,int y)表示在（x，y）位置开始设置度数为n的图形，它由5个度数为n-1的图形组成，其起始位置分别为：（x，y）、（x，y+2*s）、（x+s，y+s）、（x+2*s，y）和（x+2*s，y+2*s），其中s=3^(n-2)。

该递归函数的结束条件是：当n=1时（即度数为1的图形），只需在（x，y）位置设置一个字符'X'即可。

（2）源程序。

#include<iostream>

#include<cmath>

using namespace std;

char map[731][731];

void draw(int n,int x,int y)

{

int size;

if(n==1)

{

map[x][y]='X';

return ;

}

size=pow(3.0,n-2);

draw(n-1,x,y);                 //左上角

draw(n-1,x,y+2*size);          //右上角

draw(n-1,x+size,y+size);       //中间

draw(n-1,x+2*size,y);          //左下角

draw(n-1,x+2*size,y+2*size);   //右下角

}

int main()

{

int i,j,n,size;

while(cin>>n && n!=-1)

{

size=pow(3.0,n-1);

for(i=1;i<=size;i++)

{

for(j=1;j<=size;j++)

map[i][j]=' ';

}

draw(n,1,1);

for(i=1;i<=size;i++)

{

for(j=1;j<=size;j++)

cout<<map[i][j];

cout<<endl;

}

cout<<"-\n";

}

return 0;

}