正则化

正则化的作用实际上就是防止模型过拟合，提高模型的泛化能力。

正则化是结构风险最小化策略的实现，是在经验风险上加一个正则化项（regularizer）或惩罚项（penalty term）。正则化一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，正则化值就越大。比如，正则化项可以是模型参数向量的范数。正则化项可以：

其中，第1项是经验风险，是对第i个样本的预测值f(xi)和真实的标签yi之前的误差，因为我们的模型是要拟合我们的训练样本，所以我们要求这一项最小，也就是要求我们的模型尽量的拟合我们的训练数据；第2项是正则化项，也就是对参数w的规则化函数J(f)去约束我们的模型尽量的简单，λ>=0（读音：lambda）为调整两者之间关系的系数。

L0范数

L0是指向量中非0的元素的个数。 如果我们用L0范数来规则化一个参数矩阵W的话，就是希望W的大部分元素都是0。换句话说，让参数W是稀疏的。

但不幸的是，L0范数的最优化问题是一个NP hard问题，而且理论上有证明，L1范数是L0范数的最优凸近似，因此通常使用L1范数来代替。

L1范数

L1范数是指向量中各个元素绝对值之和 ，也有个美称叫“稀疏规则算子”（Lasso regularization）。

L1正则化之所以可以防止过拟合，是因为L1范数就是各个参数的绝对值相加得到的，我们前面讨论了，参数值大小和模型复杂度是成正比的。因此复杂的模型，其L1范数就大，最终导致损失函数就大，说明这个模型就不够好。

L2范数

L2范数向量元素绝对值的平方和再开平方 ，也叫“岭回归”（Ridge Regression），也叫它“权值衰减weight decay”。

但与L1范数不一样的是，它不会是每个元素为0，而只是接近于0。越小的参数说明模型越简单，越简单的模型越不容易产生过拟合现象。

L2范数即欧氏距离：

elastic net

L1+L2结合的方式，即elastic net。这种方式同时兼顾特征选择（L1）和权重衰减（L2）。其公式如下这种方式同时兼顾特征选择（L1）和权重衰减（L2）。其公式如下

上式中，t为正则项与L(w)之间的trade-off系数，和之前的描述一致，p是elastic net里独有的参数，它是L1和L2之间的一个trade-off，如果p为0，那么上式退化为L2正则化，如果p为1，那么上式退化为L1正则化。所以当p取值为0到1时（不包含端点），上式兼顾了L1和L2的特点。又由于L1为1范式，L2为2范式，那么elastic net就介于1范式和2范式之间。

总结

L1会趋向于产生少量的特征，而其他的特征都是0，而L2会选择更多的特征，这些特征都会接近于0。所有特征中只有少数特征起重要作用的情况下，选择L1更合适；而如果所有特征中，大部分特征都能起作用，而且起的作用很平均，选择L2更合适。

L1/L2范数让模型变得稀疏，增加模型的可解析性，可用于特征选择。
L2范数让模型变得更简单，防止过拟合问题。

讨论几个问题

为什么L1稀疏，L2平滑？

这个角度从权值的更新公式来看权值的收敛结果。
首先来看看L1和L2的梯度(求导过程，同时假定：w等于不为0的某个正的浮点数，学习速率η 为0.5，λ为1.0）：
L1梯度：

L1正则化是通过加上或减去一个常量ηλ（η读作eta ，λ读作lambda}）,让w向0靠近。也即是w = w - η*λ = w - 0.5*1.0，权值每次更新都固定减少一个特定的值(比如0.5)，那么经过若干次迭代之后，权值就有可能减少到0。
L2梯度：

L2正则化，它使用了一个乘性因子 (1-ηλ)去调整权重，使权重不断衰减。也即是w = (1 - η*λ) * w = (1 - 0.5*1.0)*w = 0.5*w，此时可以看到当w值较大时，L2下降速度较快，当w小的时候，下降较慢。虽然权值不断变小，但是因为每次都等于上一次的一半，所以很快会收敛到较小的值但不为0。

实现参数的稀疏有什么好处吗？

一个好处是可以简化模型，避免过拟合。因为一个模型中真正重要的参数可能并不多，如果考虑所有的参数起作用，那么可以对训练数据可以预测的很好，但是对测试数据就只能呵呵了。另一个好处是参数变少可以使整个模型获得更好的可解释性。

参数值越小代表模型越简单吗？

是的。为什么参数越小，说明模型越简单呢，这是因为越复杂的模型，越是会尝试对所有的样本进行拟合，甚至包括一些异常样本点，这就容易造成在较小的区间里预测值产生较大的波动，这种较大的波动也反映了在这个区间里的导数很大，而只有较大的参数值才能产生较大的导数。因此复杂的模型，其参数值会比较大。

正则式的应用场景

见：
通俗易懂–岭回归(L2)、lasso回归(L1)、ElasticNet讲解(算法+案例)：https://juejin.im/post/5c34c5f36fb9a049d13250b7

参考：
《统计学习方法》-李航
机器学习中的范数规则化之（一）L0、L1与L2范数：http://www.cnblogs.com/weizc/p/5778678.html
L0、L1、L2范数在机器学习中的应用：https://www.jianshu.com/p/4bad38fe07e6
L1,L2,L0区别，为什么可以防止过拟合：https://www.jianshu.com/p/475d2c3197d2
岭回归、lasso、ElasticNet、正则化、L1、L2小结：https://vimsky.com/article/969.html
为什么L1稀疏，L2平滑？：https://blog.csdn.net/yitianguxingjian/article/details/69666447

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