山东大学离散数学1知识点整理

离散数学

第一章：基础：逻辑与证明

1.1命题逻辑：Propositons Logic

1、命题Propositons:

A proposition is a declarative(陈述的) sentence that is either true or false.

否定：Negation

The negation of a proposition p is denoted by ¬p.

合取：Conjunction

The conjunction of propositions p and q is denoted by p ∧ q

析取：Disjunction

The disjunction of propositions p and q is denoted by p ∨q.

蕴含:Implication

If p and q are propositions, then p →q is a conditional statement or implication which is read as “if p, then q ”

等价：Biconditional

If p and q are propositions, then we can form the biconditional proposition p ↔q , read as “p if and only if q .” The biconditional p ↔q denotes the proposition with this truth table.

1.3命题等价式

永真式：tautology

A tautology is a proposition which is always true.
- Example: p ∨¬p

矛盾式：contradiction

A contradiction is a proposition which is always false.
- Example: p ∧¬p

可能式：contingency

A contingency is a proposition which is neither a tautology nor a contradiction

逻辑等价式：Logically Equivalent

逻辑等价式

条件命题逻辑等价式

双条件命题逻辑等价式

1.4谓词逻辑：Predicate Logic

命题函数Proposional Funcons

量词

全称量词：Universal Quantifier

存在量词：Existen Quantifier

量词优先级：Precedence of Quantifier

The quantifiers ∀ and ∃ have higher precedence than all the logical operators.
- For example, ∀x P(x)∨Q(x) means (∀x P(x))∨Q(x).
- ∀x(P(x)∨Q(x)) means something different

设计量词的逻辑等价式：Equivalences in Predicate Logic

1.5嵌套量词Nested Quantifiers

Nested quantifiers are often necessary to express the meaning of sentences in English as well as important concepts in computer science and mathematics.
- Example: “Every real number has an additive inverse” ∀x∃y(x + y = 0)
- where the domains of x and y are the real numbers.
We can also think of nested propositional functions: ∀x∃y(x + y = 0) can be viewed as ∀xQ(x) where Q(x) is ∃yP(x, y) where P(x, y) is (x + y = 0）

量词的顺序：Order of Quantifiers

∀x∀y P(x, y)
- 何时为真：对每一对x、y，P(x,y)都为真。
- 何时为假：存在一对x、y，使得P(x,y)为假。
∀x∃y P(x, y)
- 何时为真：对每个x，都存在一个y使得P(x,y)为真。
- 何时为假：存在一个x，使得P(x,y)总为假。
∃x∀y P(x, y)
- 何时为真：存在一个x，使得P(x，y)对所有的y均为真。
- 何时为假：对每个x，存在一个y，使得P(x,y)为假。
∃x∃y P(x, y)
- 何时为真：存在一对x、y，使P(x,y)为真。
何时为假：对每一对x、y，P(x,y)均为假。

1.6推理规则

有效论证：Valid Arguments

定义1：An argument in propositional logic is a sequence of propositions. All but the final proposition are called premises. The last statement is the conclusion.
命题逻辑中的一个论证是一连串的命题。除了论证中最后一个命题外都叫做前提，最后那个命题叫做结论。
The argument is valid if the premises imply the conclusion.
如果这个命题的前提可以蕴含结论，那么这个论证是有效的。
命题逻辑中的论证形式是一连串涉及命题变量的复合命题。无论用什么特定命题来替换其中的命题变量，如果前提均真时结论为真，则称该论证形式是有效的。

常见的推理规则

量化命题的推理规则

第二章：基本结构：集合、函数

Basic Structures：Set，Functions

2.1集合 Sets

集合 Sets

A set is an unordered collection of objects.The objects in a set are called the elements, or members of the set. A set is said to contain its elements.The notation a ∈ A denotes that a is an element of the set A.
确定性：一个元素是否属于这个集合是确定的。
无序性：集合中的元素没有顺序
元素互异性：集合中的元素互不相同

集合相等：Set Equality

Two sets are equal if and only if they have the same elements. Therefore if A and B are sets, then A and B are equal if and only if （对于任意x（x属于A<—>x属于B）） We write A = B if A and B are equal sets.
两个集合相等当且仅当他们拥有相同的元素。所以，如果A和B是集合，则A和B是相等的当且仅当对于任意x（x属于A<—>x属于B）。如果A和B是相等的集合，那么记作A = B。

子集：Subset

The set A is a subset of B, if and only if every element of A is also an element of B.The notation A ⊆ B is used to indicate that A is a subset of the set B. A ⊆ B holds if and only if is对于任意x（x属于A—>x属于B） true.

Another look at Equality of Sets

真子集：Proper Subsets

If A ⊆ B, but A ≠B, then we say A is a proper subset of B, denoted by A ⊂ B. If A ⊂ B,

集合的基数：Set Cardinality

If there are exactly n distinct elements in S where n is a nonnegative integer, we say that S is finite. Otherwise it is infinite.The cardinality of a finite set A, denoted by |A|, is the number of (distinct) elements of A.
- finite 有限的 distinct 不同的
一个集合称为无限的，如果它是有限的。

幂集：Power Sets

The set of all subsets of a set A, denoted P(A), is called the power set of A.
所有子集的集合：这是一个集合的集合

元组：Tuples

The ordered n-tuple (a1,a2,…..,an) is the ordered collection that has a1 as its first element and a2 as its second element and so on until an as its last element.
有序
Two n-tuples are equal if and only if their corresponding elements are equal.
The ordered pairs (a,b) and (c,d) are equal if and only if a = c and b = d
有序二元组是相等的当且仅当每一对对应的元素都相等。
2-tuples are called ordered pairs.有序对

笛卡尔积：Cartesian Product

2.2集合运算 Set Operation

并集：Union

Let A and B be sets. The union of the sets A and B, denoted by A ∪ B.
令A和B为集合。集合A和B的并集，用A ∪ B表示，是一个集合，他包含A或者B中或同时在A和B中的元素。

交集：Intersection

The intersection of sets A and B, denoted by A ∩ B.
令A和B为集合，集合A和B的交集，用A ∩ B表示，是一个集合，他包含同时存在A和B中的那些元素。

补集：complement

If A is a set, then the complement of the A (with respect to U), denoted by Ā
令U为全集。集合A的补集，用Ā表示，是A相对于U的补集。所以集合A的补集是U - A。

差集：Difference

Let A and B be sets. The difference of A and B, denoted by A – B, is the set containing the elements of A that are not in B. The difference of A and B is also called the complement of B with respect to A.
令A和B为集合。A和B的差集，用A - B表示，是一个集合，他包含属于A而不属于B的元素。A和B的差集也称为B相对于A的补集。

集合恒等式：

德摩根律啥的

证明集合恒等式的方法

子集方法：证明恒等式的每一边是另一边的子集
成员表：对于原子集合的每一种可能的组合，证明恰好在这些原子集合中的元素要么同时属于两边，要么都不属于两边。
应用已知的恒等式：从一边开始，通过应用一系列已经建立了的恒等式将它转换成另一边的形式。

函数：Function

函数有时候也称为映射(mapping)或者变换(transformation)。
Let A and B be nonempty sets. A function f from A to B, denoted f: A → B is an assignment of each element of A to exactly one element of B. We write f(a) = b if b is the unique element of B assigned by the function f to the element a of A.
令A和B为非空集合。从A到B的函数f是对元素的一种指派，对A的每个元素恰还指派B的一个元素。如果B中元素b是唯一由函数f指派给A中元素a的，则我们就写成f(a) = b。如果f是从A到B的函数，就写成f:A - > b。
如果f是从A到B的函数，我们说A是f的定义域（domain），而B是f的陪（codomain）。如果f(a) = b，我们说b是a的像（image），而a是b的原像（preimage）。f的值域（range）或像是A中元素的所有像的集合。如果f是从A到B的函数，我们说f把A映射（map）到B上。

一对一函数：one-to-one

A function f is said to be one-to-one , or injective, if and only if f(a) = f(b) implies that a = b for all a and b in the domain of f. A function is said to be an injection if it is one-to-one.
对任意a和任意b，如果f(a) = f(b) 那么 a = b。
又叫单射（injection）函数

映上函数：onto

A function f from A to B is called onto or surjective, if and only if for every element there is an element a 属于A with f(a) = b. A function f is called a surjection if it is onto.
任意y 都存在x 使 f(x) = y。
又叫满射（surjection）函数

双射函数：bijection

A function f is a one-to-one correspondence, or a bijection, if it is both one-to-one and onto (surjective and injective).
既是单射又是满射。
又叫一一对应（one-to-one correspondence）函数。

反函数：inverse functions

复合函数：composition

关系：Relations

9.1、关系及其性质：relations and their property

二元关系：binary relation

A binary relation R from a set A to a set B is a subset R ⊆ A × B.
设A和B是集合，，一个从A到B的二元关系是A与B的笛卡尔积的子集。

在一个集合上的二元关系：binary relation on a set

A binary relation R on a set A is a subset of A × A or a relation from A to A.

定义二：一个集合A上的关系是从A到A的关系。

自反关系：Reflexive Relation

R is reflexive iff (a,a) ∊ R for every element a ∊ A. Written symbolically.

若对每个属于A的元素a，都有（a，a）属于R，那么定义在集合A上的关系R称为自反的。

对称关系：symmetric relations

R is symmetric iff (b,a) ∊ R whenever (a,b) ∊ R for all a,b ∊ A. Written symbolically。

反对称关系：Antisymmetric Relations

A relation R on a set A such that for all a,b ∊ A if (a,b) ∊ R and (b,a) ∊ R, then a = b is called antisymmetric. Written symbolically

可视化表达里，反对称关系要求两个元素之间只能有一个箭头。
对称关系和反对称关系不是对立的，一个集合可以同时满足对称和反对称，也可以同时不满足。

传递关系：Transitive Relations

A relation R on a set A is called transitive if whenever (a,b) ∊ R and (b,c) ∊ R, then (a,c) ∊ R, for all a,b,c ∊ A. Written symbolically,

Combining Relations

Given two relations R1 and R2 , we can combine them using basic set operations to form new relations such as R1 ∪ R2 , R1 ∩ R2 , R1 − R2 , and R2 − R1

合成：composition

Suppose
- R1 is a relation from a set A to a set B.
- R2 is a relation from B to a set C.
Then the composition (or composite) of R2 with R1, is a relation from A to C where
- if (x,y) is a member of R1 and (y,z) is a member of R2, then (x,z) is a member of R2∘R1.

一个关系自身的合成：Compositon of a relation with itself

Suppose R is a relation on a set A. Then the composition (or composite) of R with R, denoted by R∘ R, is a relation on A where if (x,y) is a member of R and (y,z) is a member of R, then (x,z) is a member of R∘ R.

关系的幂：powers of a relation

递归的 recursive

定理一：

The relation R on a set A is transitive iff Rn ⊆ R for all positive integers n.

9.4闭包：closure

闭包：设R是集合A上的关系，若存在关系R的具有性质P的闭包，则此闭包是集合A上包含的具有性质P的关系S，并且S是每一个包含R的具有性质P的A×A的子集。

9.5等价关系：Equivalence Relations

A relation on a set A is called an equivalence relation if it is reflexive, symmetric, and transitive.
一个定义在A上的关系叫做等价关系，如果它是自反的，对称的，传递的。
Two elements a, and b that are related by an equivalence relation are called equivalent. The notation a ∼ b is often used to denote that a and b are equivalent elements with respect to a particular equivalence relation.

等价类：Equivalence Classes

Let R be an equivalence relation on a set A. The set of all elements that are related to an element a of A is called the equivalence class of a. The equivalence class of a with respect to R is denoted by [a]R. When only one relation is under consideration, we can write [a], without the subscript R, for this equivalence class.

等价类与划分：Equivalence Classes and Partitions

Let R be an equivalence relation on a set A. These statements for elements a and b of A are equivalent:
- (i) aRb
- (ii) [a] = [b]
- (iii) [a] ∩ [b] ≠ ∅

5.6偏序：Partial Orderings

偏序：Partial Orderings

A relation R on a set S is called a partial ordering, or partial order, if it is reflexive, antisymmetric, and transitive.
定义在集合S上的关系R，如果它是自反的，反对称的和传递的，就称为偏序
A set together with a partial ordering R is called a partially ordered set, or poset, and is denoted by (S, R). Members of S are called elements of the poset.
集合S与定义在其上的偏序R一起称为偏序集，记作（S,R）。集合S中的成员称为偏序集的元素。

可比性：Comparability

The elements a and b of a poset (S,≼ ) are comparable if either a ≼ b or b ≼ a. When a and b are elements of S so that neither a ≼ b nor b ≼ a, then a and b are called incomparable.
偏序集（S， ≼）中的元素a和b称为可比的，如果a ≼ b或b ≼ a。当a和b是S中的元素并且既没有a ≼ b也没有b ≼ a，则称a和b是不可比的。
If (S,≼) is a partially ordered set and every two elements of S are comparable, S is called a totally ordered or linearly ordered set, and ≼ is called a total order or a linear order. A totally ordered set is also called a chain.
如果(S,≼)是偏序集，且S中的每对元素都是可比的，则S称为全序集或线序集，且≼称为全序或线序，一个全序集也称为链。

哈塞图：Hasse Diagrams

三条原则：

去自环。
只保留盖住关系。
箭头方向都是往上指，去掉箭头。
A Hasse diagram is a visual representation of a partial ordering that leaves out edges that must be present because of the reflexive and transitive properties.
Hasse图是部分排序的可视化表示，它去掉了由于自反性和传递性而必须存在的边。

盖住关系：

设（S， ≼）是一个偏序集。若x < y且不存在z属于S使得 x < z < y，则称元素y属于S覆盖元素x属于S。y覆盖x有序对（x，y）的集合称为（S， <=）的覆盖关系。

极大元与极小元：Maximal and Minimal Elements

极大元极小元：Maximal and Minimal Elements

偏序集中的一个元素称为极大元，当它不小于这个偏序集的任何其他元素。
- 既不存在b属于S使得a < b，a在偏序集（S，<=）中是极大元。
类似的偏序集中的一个元素称为极小元，当它不大于这个偏序集的任何其他元素。
- 既不存在b属于S使得a > b，a在偏序集（S，<=）中是极小元。
极大元极小元都不一定唯一，也不一定存在。
- 无穷偏序集就可以都没有，但是也可以有。
有限偏序集一定存在极大元和极小元

最大元与最小元：Greatest element and least element

有时在偏序集中存在一个元素大于每一个其他的元素。这样的元素称为最大元。
- 即a是偏序集（S ， <=）的最大元，如果对所有的b属于S都有b <= a。
- 当极大元存在的时候，他是唯一的。
类似的有时在偏序集中存在一个元素小于每一个其他的元素。这样的元素称为最小元。
- 即a是偏序集（S ， <=）的最小元，如果对所有的b属于S都有b >= a。
- 当极小元存在的时候，他是唯一的。

上界与下界：Upper bound and lower bound

有时候可以找到一个元素大于或等于偏序集（S , <=）的子集A中的任何一个元素。如果u是S中的元素，使得对所有的a属于A，有a <= u，那么u称为A的一个上界。
类似的有时候可以找到一个元素小于或等于偏序集（S , <=）的子集A中的任何一个元素。如果u是S中的元素，使得对所有的a属于A，有a >= u，那么u称为A的一个下界。
上届下界也可能是这个集合中的元素。
上届下界可能存在多个，也可能不存在。

上确界与下确界：least upper bound and greatest lower bound

上确界：上界中最小的那一个。
下确界：下界中最大的那一个。
有可能不存在：不存在的原因可以是因为：存在必唯一，也是由于其他的原因。

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