对锦标赛算法与完美洗牌的分析

如果要在n个数据中挑选出第一大和第二大的数据（要求输出数据所在位置和值），使用什么方法比较的次数最少？我们可以从体育锦标赛中受到启发。

如图【1.png】所示，8个选手的锦标赛，先两两捉对比拼，淘汰一半。优胜者再两两比拼…直到决出第一名。

第一名输出后，只要对黄色标示的位置重新比赛即可。

下面的代码实现了这个算法（假设数据中没有相同值）。

代码中需要用一个数组来表示图中的树（注意，这是个满二叉树，不足需要补齐）。它不是存储数据本身，而是存储了数据的下标。

第一个数据输出后，它所在的位置被标识为-1
蓝桥杯上的一个填空题，感觉想法很好。
用一个b数组来存放这些数的下标，为空的地方就赋值为-1，然后通过左右子树不断的比较，将大数放到父亲节点，一直到根节点，先输出最大数，然后进行第二次比较，从根节点一直往下，把较大的数继续放到父亲节点，把第一次的最大数覆盖，一直到根节点，再输出第二大的数。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
void pk(int* a, int* b, int n, int k, int v)
{int k1 = k*2 + 1;int k2 = k1 + 1;if(k1>=n || k2>=n){b[k] = -1;return;}if(b[k1]==v) pk(a,b,n,k1,v);elsepk(a,b,n,k2,v);//重新比较if(b[k1]<0){if(b[k2]>=0)b[k] = b[k2]; elseb[k] = -1;return;}if(b[k2]<0){if(b[k1]>=0)b[k] = b[k1]; elseb[k] = -1;return;}if(a[b[k1]]>a[b[k2]]) //填空b[k] = b[k1];elseb[k] = b[k2];
}//对a中数据，输出最大，次大元素位置和值
void f(int* a, int len)
{int n = 1;while(n<len) n *= 2;int* b = (int*)malloc(sizeof(int*) * (2*n-1));int i;for(i=0; i<n; i++){ if(i<len) b[n-1+i] = i;elseb[n-1+i] = -1;}//从最后一个向前处理for(i=2*n-1-1; i>0; i-=2){if(b[i]<0){if(b[i-1]>=0)b[(i-1)/2] = b[i-1]; elseb[(i-1)/2] = -1;}else{if(a[b[i]]>a[b[i-1]])b[(i-1)/2] = b[i];elseb[(i-1)/2] = b[i-1];}}//输出树根printf("%d : %d\n", b[0], a[b[0]]);//值等于根元素的需要重新pkpk(a,b,2*n-1,0,b[0]);//再次输出树根printf("%d : %d\n", b[0], a[b[0]]);free(b);
}int main()
{int a[] = {54,55,18,16,122,17,30,9,58};f(a,9);
}a1, a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4我们先要把前半段的后2个元素(a3,a4)与后半段的前2个元素(b1,b2)交换，得到a1,a2,b1,b2,a3,a4,b3,b4。于是，我们分别求解子问题A (a1,a2,b1,b2)和子问题B (a3,a4,b3,b4)就可以了。如果n = 5，是偶数怎么办？我们原始的数组是a1,a2,a3,a4,a5,b1,b2,b3,b4,b5，我们先把a5拎出来，后面所有元素前移，再把a5放到最后，变为a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,b5,a5。可见这时最后两个元素b5,a5已经是我们要的结果了，所以我们只要考虑n=4就可以了。那么复杂度怎么算？ 每次，我们交换中间的n个元素，需要O(n)的时间，n是奇数的话，我们还需要O(n)的时间先把后两个元素调整好，但这步影响总体时间复杂度。所以，无论如何都是O(n)的时间复杂度。于是我们有 T(n) = T(n / 2) + O(n)  这个就是跟归并排序一样的复杂度式子，最终复杂度解出来T(n) = O(nlogn)。空间的话，我们就在数组内部折腾的，所以是O(1)。（当然没有考虑递归的栈的空间）代码：

//时间O(nlogn) 空间O(1) 数组下标从1开始
void perfect_shuffle2(int *a,int n) {
int t,i;  if (n == 1) {  t = a[1];  a[1] = a[2];  a[2] = t;  return;  }  int n2 = n * 2, n3 = n / 2;  if (n % 2 == 1) {  //奇数的处理  t = a[n];  for (i = n + 1; i <= n2; ++i) {  a[i - 1] = a[i];  }  a[n2] = t;  --n;  }  //到此n是偶数  for (i = n3 + 1; i <= n; ++i) {  t = a[i];  a[i] = a[i + n3];  a[i + n3] = t;  }  // [1.. n /2]  perfect_shuffle2(a, n3);  perfect_shuffle2(a + n, n3);  }

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