规划问题——尝试非线性规划+部分整数决策变量的求解

这里总结一下常用的规划模型的写法以下内容包括线性规划整数规划非线性规划 非线性+部分变量整数规划（这里尝试一种方法，如果有问题请大家指正）

首先是简单的线性规划模型
一般是使用下图这样的写法，使用 linprog 函数

[x,fval]=linprog(f,A,b，Aeg，beg，lb,ub，x0) %x0对应着初值，f对应系数的列向量，这里求解的是标准型，即min 下方是<=号的约束条件

f=[-4 3 2]';A=[1 -2 2;2 -1 -1];b=[8;-4];Aeg=[-1 0 1];beg=[2]lb=[1,0,0]';ub=[4,4,4]';[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeg,beg,lb,ub);

非线性求解和非线性约束时fmincon函数

这里有四种option对应着四种不同的非线性规划的求解方法
option = optimoptions('fmincon','Algorithm','interior-point') 这里定义option，后面一般可以有四种方法：interior point算法（内点法）（也是matlab的默认算法）；
'sqp'；'active-set'；'trust-region-reflective'

注意非线性约束的写法，这里举出一个三元的例子,用两个向量接收约束条件，一个不等式向量，一个等式向量（我下面就直接调用这个函数了）注意如果这里的等式约束或是不等式约束不存在的话，直接定义成空集就可以了

这里放一个fmincon函数的例子 from https://blog.csdn.net/Arcann/article/details/109563868?ops_request_misc=&request_id=&biz_id=102&utm_term=matlab%20nonlcon%E7%94%A8%E6%B3%95&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~sobaiduweb~default-5-109563868.pc_search_insert_download&spm=1018.2226.3001.4187

function y=demo(x)
y=floor(x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2+x(4)^2);
end

function [g,h]=nonlfun(x)
g(1) = - x(1).^2 + x(2) - x(3).^2;
g(2) = (x(1) + x(2).^2 + x(3).^3 - 20);
% g代表不等式约束，Matlab中默认g<=0，所以这里取相反数
h(1) = - x(1).^2 - x(2).^2 + 2;
h(2) = x(2) + 2 * x(3).^2 - 3;
% h代表等式约束
end

 option = optimoptions('fmincon','Algorithm','interior-point');x0=[1 1 1 1 ]';lb=[0 0 0 0 ]';ub=[3 3 3 3 ]';A=[1 2 3 4;2 1 4 3];b=[5;7];Aeq=[1 1 1 1];beq=[8];[x,fval] = fmincon(@demo,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlfun,option);

这里再来看一个matlab中的整数规划问题（from 清风数学建模）

 %% 背包问题（货车运送货物的问题）
c = -[540 200 180 350 60 150 280 450 320 120];  % 目标函数的系数矩阵(最大化问题记得加负号)
intcon=[1:10];  % 整数变量的位置(一共10个决策变量，均为0-1整数变量)
A = [6 3 4 5 1 2 3 5 4 2];  b = 30;   % 线性不等式约束的系数矩阵和常数项向量（物品的重量不能超过30）
Aeq = []; beq =[];  % 不存在线性等式约束
lb = zeros(10,1);  % 约束变量的范围下限
ub = ones(10,1);  % 约束变量的范围上限
%最后调用intlinprog()函数
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
fval = -fval

那么杠精就要问了，如果我是一个非线性规划然后再加上一些整数型的变量呢？我们不妨在这里做以下的一个尝试，还是沿用上面的非线性规划模型，把目标函数和约束函数稍加修改

function f = demo1(x)
P=[2 3];%这里想要模仿的是可以取的几个离散解
f=floor(x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2)+P(floor(x(4))+1);
end
function [c,ceq] = nonlfun1(x)
P=[2 3];%这里想要模仿的是可以取的几个离散解
c(1) = - x(1).^2 + x(2) - x(3).^2;
c(2) = P(floor(x(4))+1)*(x(1) + x(2).^2 + x(3).^3 - 20);
% g代表不等式约束，Matlab中默认g<=0，所以这里取相反数
ceq(1) = - x(1).^2 - x(2).^2 + 2;
ceq(2) = x(2) + 2 * x(3).^2 - 3;
% h代表等式约束
end

option = optimoptions('fmincon','Algorithm','interior-point');x0=[1 1 1 1 ]';lb=[0 0 0 0.1 ]';ub=[3 3 3 1.1 ]';A=[1 2 3 4;2 1 4 3];b=[5;7];Aeq=[1 1 1 1];beq=[8];[x1,fval1] = fmincon(@demo1,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlfun1,option);

这里尝试着对于目标函数和非线性约束都进行了整数的限制，至少程序没有报错，这里的正确性留待讨论（最后取解的时候记得把x里面对应的整数部分拿函数里的P处理一下）