矩阵初等变换与矩阵乘法的联系

前置知识：

【定义】矩阵
逆矩阵的性质
【定义】矩阵初等变换和矩阵等价

前置定义 1（矩阵等价）　如果矩阵 A\boldsymbol{A}A 经有限次初等行变换变成矩阵 B\boldsymbol{B}B，就称矩阵 A\boldsymbol{A}A 与 B\boldsymbol{B}B 行等价，记作 A∼rB\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}A∼rB

证明见 “【定义】矩阵初等变换和矩阵等价”。

前置定理 2　有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。

证明　不妨设 nnn 阶方阵 A\boldsymbol{A}A 和 B\boldsymbol{B}B 均可逆，则有 (AB)(AB)−1=(AB)(B−1A−1)=E(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{-1} = (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) (\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}) = \boldsymbol{E}(AB)(AB)−1=(AB)(B−1A−1)=E，即 AB\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}AB 可逆。以此类推，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。得证。

定义　由单位矩阵 E\boldsymbol{E}E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

（1）对换两行

把单位矩阵中第 i,ji,ji,j 两行对换（或将第 i,ji,ji,j 两列对换），得到初等矩阵
E(i,j)=(1⋱10⋯11⋮⋱⋮11⋯01⋱1)\boldsymbol{E}(i,j) = \begin{pmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & 0 & & \cdots & & 1 \\ & & & & 1 & & & \\ & & & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ & & & & & & 1 & \\ & & & 1 & & \cdots & & 0 \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1 \\ \end{pmatrix} E(i,j)=⎝⎛1⋱10⋮11⋯⋱⋯11⋮01⋱1⎠⎞
可以验知：

用 mmm 阶初等矩阵 Em(i,j)\boldsymbol{E}_m(i,j)Em(i,j) 左乘矩阵 A=(aij)m×n\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m \times n}A=(aij)m×n，其结果相当于对矩阵 A\boldsymbol{A}A 施行第一种初等行变换：把 A\boldsymbol{A}A 的第 iii 行与第 jjj 列对换（ri↔rjr_i \leftrightarrow r_jri↔rj）；
用 nnn 阶初等矩阵 En(i,j)\boldsymbol{E}_n(i,j)En(i,j) 右乘矩阵 A\boldsymbol{A}A，其结果相当于对矩阵 A\boldsymbol{A}A 施行第一种初等列变换：把 A\boldsymbol{A}A 的第 iii 列与第 jjj 列对换（ci↔cjc_i \leftrightarrow c_jci↔cj）。

（2）以数 k≠0k \ne 0k=0 乘某一行中的所有元

以数 k≠0k \ne 0k=0 乘单位矩阵的第 iii 行（或第 iii 列），得到初等矩阵
E(i(k))=(1⋱1k1⋱1)\boldsymbol{E}(i(k)) = \begin{pmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & k \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} E(i(k))=⎝⎛1⋱1k1⋱1⎠⎞
可以验知：

以 Em(i(k))E_m(i(k))Em(i(k)) 左乘矩阵 A\boldsymbol{A}A，其结果相当于以数 kkk 乘 A\boldsymbol{A}A 的第 iii 行（ri×kr_i \times kri×k）；
以 En(i(k))E_n(i(k))En(i(k)) 右乘矩阵 A\boldsymbol{A}A，其结果相当于以数 kkk 乘 A\boldsymbol{A}A 的第 iii 列（ci×kc_i \times kci×k）。

（3）把某一行所有元的 kkk 倍加到另一行对应的元上去

以 kkk 乘单位矩阵的第 jjj 行加到第 iii 行上或以 kkk 乘单位矩阵的第 iii 列加到第 jjj 列上，得初等矩阵
E(ij(k))=(1⋱1⋯k⋱⋮1⋱1)\boldsymbol{E}(ij(k)) = \begin{pmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 & \cdots & k\\ & & & \ddots & \vdots\\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} E(ij(k))=⎝⎛1⋱1⋯⋱k⋮1⋱1⎠⎞
可以验知：

以 Em(ij(k))\boldsymbol{E}_{m}(ij(k))Em(ij(k)) 左乘矩阵 A\boldsymbol{A}A，其结果相当于把 A\boldsymbol{A}A 的第 jjj 行乘 kkk 加到第 iii 行上（ri+krjr_i + k r_jri+krj）；
以 Em(ij(k))\boldsymbol{E}_{m}(ij(k))Em(ij(k)) 右乘矩阵 A\boldsymbol{A}A，其结果相当于把 A\boldsymbol{A}A 的第 iii 列乘 kkk 加到第 jjj 列上（cj+kcic_j + k c_icj+kci）。

根据以上讨论，得到性质如下：

性质 1　设 A\boldsymbol{A}A 是一个 m×nm \times nm×n 矩阵，对 A\boldsymbol{A}A 施行一次初等行变换，相当于在 A\boldsymbol{A}A 的左边乘相应的 mmm 阶初等矩阵；对 A\boldsymbol{A}A 施行一次初等列变换，相当于在 A\boldsymbol{A}A 的右边乘相应的 nnn 阶初等矩阵。

观察上述初等矩阵，显然有

性质 2　初等矩阵都是可逆的，且其可逆矩阵是同一类型的初等矩阵。具体地：

E(i,j)−1=E(i,j)\boldsymbol{E}(i,j)^{-1} = \boldsymbol{E}(i,j)E(i,j)−1=E(i,j)；
E(i(k))−1=E(i(1k))\boldsymbol{E}(i(k))^{-1} = \boldsymbol{E}(i(\frac{1}{k}))E(i(k))−1=E(i(k1))；
E(ij(k))−1=E(ij(−k))\boldsymbol{E}(ij(k))^{-1} = \boldsymbol{E}(ij(-k))E(ij(k))−1=E(ij(−k))。

根据以上性质，我们得到定理和证明如下：

定理　设 A\boldsymbol{A}A 和 B\boldsymbol{B}B 为 $m \times n $ 矩阵，那么

A∼rB\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}A∼rB 的充分必要条件是存在 mmm 阶可逆矩阵 P\boldsymbol{P}P，使 PA=B\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}PA=B；
A∼cB\boldsymbol{A} \stackrel{c}{\sim} \boldsymbol{B}A∼cB 的充分必要条件是存在 nnn 阶可逆矩阵 Q\boldsymbol{Q}Q，使 AQ=B\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}AQ=B；
A∼B\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}A∼B 的充分必要条件是存在 mmm 阶可逆矩阵 P\boldsymbol{P}P 和 nnn 阶可逆矩阵 Q\boldsymbol{Q}Q，使 PAQ=B\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}PAQ=B。

证明　这里证明第 1 条，类似可证明第 2 条和第 3 条。

根据前置定义 1，可知：A∼rB\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}A∼rB；等价于矩阵 A\boldsymbol{A}A 经有限次初等行变换变成矩阵 B\boldsymbol{B}B。

根据性质 1，可知：矩阵 A\boldsymbol{A}A 经有限次初等行变换变成矩阵 B\boldsymbol{B}B；等价于矩阵 A\boldsymbol{A}A 左乘有限个 mmm 阶初等矩阵可以得到 B\boldsymbol{B}B；即存在有限个 mmm 阶初等矩阵 P1,P2,⋯,Pl\boldsymbol{P}_1, \boldsymbol{P}_2, \cdots, \boldsymbol{P}_lP1,P2,⋯,Pl，使得 Pl⋯P2P1A=B\boldsymbol{P}_l \cdots \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}Pl⋯P2P1A=B。

因为初等矩阵都是可逆矩阵，根据前置定理 2，可知：存在有限个 mmm 阶初等矩阵 P1,P2,⋯,Pl\boldsymbol{P}_1, \boldsymbol{P}_2, \cdots, \boldsymbol{P}_lP1,P2,⋯,Pl，使得 Pl⋯P2P1A=B\boldsymbol{P}_l \cdots \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}Pl⋯P2P1A=B；等价于存在 mmm 阶可逆矩阵 P\boldsymbol{P}P，使得 PA=B\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}PA=B。

综上所述，得到 A∼rB\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}A∼rB 的充分必要条件是存在 mmm 阶可逆矩阵 P\boldsymbol{P}P，使 PA=B\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}PA=B。得证。

上述定理表明，如果 A∼rB\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}A∼rB 则有可逆矩阵 P\boldsymbol{P}P，使 PA=B\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}PA=B。下面讨论如何求得这个可逆矩阵 P\boldsymbol{P}P。

由于 PA⇔{PA=BPE=P⇔P(A,E)=(B,P)⇔(A,E)∼r(B,P)\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \Leftrightarrow \begin{cases} \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{P} \boldsymbol{E} = \boldsymbol{P} \end{cases} \Leftrightarrow \boldsymbol{P} (\boldsymbol{A}, \boldsymbol{E}) = (\boldsymbol{B}, \boldsymbol{P}) \Leftrightarrow (\boldsymbol{A},\boldsymbol{E}) \stackrel{r}{\sim} (\boldsymbol{B},\boldsymbol{P})PA⇔{PA=BPE=P⇔P(A,E)=(B,P)⇔(A,E)∼r(B,P)。因此，如果对矩阵 (A,E)(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{E})(A,E) 作初等行变换，那么当把 A\boldsymbol{A}A 变成 B\boldsymbol{B}B 时，E\boldsymbol{E}E 就变成了P\boldsymbol{P}P。于是就得到所求的可逆矩阵 P\boldsymbol{P}P。

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