线性回归拟合优度度量

2024-05-20 00:02:27

在拟合了Y关于X的线性模型之后，我们不但想知道这种线性关系是否真的存在，还想度量模型对数据的拟合效果。拟合效果可以采用下面的方法之一进行度量，这些方法有很高的关联性。

1.Y对X的散点图、Y对Y的散点图

Y与X之间线性关系的强度还可以通过考察Y对X或Y对 $Y\widehat{}$ 的散点图和相关系数Cor(X,Y)(Cor( $Y\widehat{}$ ,Y))的值直接度量。散点图上的点离一条直线越近（或Cor(X,Y)/Cor(X, $Y\widehat{}$ ）越接近1、-1），Y与X（ $Y\widehat{}$ ）之间的线性关系越强。这个方法是不正规的且有主观性，但只需要线性假定。

详细步骤见《例解回归分析》（原书第五版）（美）Samprit Chatterjee Ali S.Hadi 著（p36）

2.回归参数和相关系数的t检验

X是否具备对Y的预测能力，一般可以通过相关系数和相应的Y对X的散点图来衡量。但是这只是一种视觉上的直观判断方法。现在提供一种更严格化的数量化方法：对回归参数 $\beta$ 做假设检验。

在模型中，若 $\beta$ =0意味着Y和X之间没有线性关系，若 $\beta$ !=0，则Y和X之间存在线性关系。因此对假设 $\beta$ =0做检验。前提是对于X的每一个固定的值，所有的 $\xi$ 都相互独立，且都服从均值为0，方差为 $\sigma ^{2}$ 的正态分布。

详细步骤见《例解回归分析》（原书第五版）（美）Samprit Chatterjee Ali S.Hadi 著（p30）

3. $R^{2}$ 拟合优度样本决定系数

$R^{2}$ 是一个拟合优度指数，表示的是响应变量Y的总离差平方和中能由预测变量X解释的比例。0<= $R^{2}$ <=1,如果 $R^{2}$ 接近1，说明Y的绝大部分变化可由X解释。因此， $R^{2}$ 称为决定系数，反应了预测变量对响应变量的解释能力。

详细步骤见《例解回归分析》（原书第五版）（美）Samprit Chatterjee Ali S.Hadi 著（p37）

参考文献

详细步骤见《例解回归分析》（原书第五版）（美）Samprit Chatterjee Ali S.Hadi 著

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