嗯哼是个nlper酱--LDA学习笔记

非常同意学东西，先学复杂，然后逐步简化的方式。
LDA模型学习系统的学习有一些时间了，闭上眼睛细想一下，似乎能够理解为什么有前辈们说LDA是一个比较简单的学习模型了。up一个学习笔记，记录一下自己在学习完了之后，对LDA各个步骤涉及的数学基础。
一、LDA算法主线
如果想要快速入门+70%理解的话，个人感觉看这一节就好了。本节不会像其他博客那样，从unigram、plsa巴拉巴拉一长串“前菜”开始，显得就不够通俗了，并且还没看到真正LDA相关的知识，耐心就磨完了。要了，开扯。
1、在LDA、PLSA这些topic model中，注意几点假设：

独立性假设：语料中的每篇文档、每篇文档中的每个词都是独立的
多项式分布和Dirichlet分布：每个词的出现符合多项式分布，多项式分布的参数的先验分布是Dirichlet分布
正是基于上面两个假设，可以看出这些topic model都是基于词袋的，词的顺序什么的对文章并没有影响。

2、文本建模
文章中的词的出现符合多项式分布，那么文档的建模公式为：
（1）
如果，考虑每篇文档的主题分布，根据LDA定义，引入每篇文章主题多项式分布的先验Dirichlet分布（参数为α）、词多项式分布的先验分布（参数为β），则文档的建模公式为：
（2）
式中，前后两个子部分相互独立，可以分别处理：

（3）
公式（3）中，有几点需要注意，以左边的为例：
1）外面要取积分（离散分布的话用累加），表示求生成词的条件概率，要考虑每一个主题先验参数，这个事或的关系，所以在连续随机变量时用积分，离散型随机本用累加和；

2）公式中有一个黑色下划线，很多blog里，都是直接给出了它下面那一步的结果，讲道理，这样很不好，很容易导致歧义。
我们可以试着直接看倒数第二步，两个连乘符号，乍一眼，感觉要乘以K*N次（注意，我没有用V，因为V是词典集数量，已经去重，N表示去重之前的单词数）。我刚开始看的时候，就是这么理解的，但是怎么也想不通。因为如果是要考虑，在每个不同主题下词序列出现的概率，那么第一个关于K的连乘就应该改成累加。但是这样说不过去，因为回归到p(w|z，β)这个概率的初衷，还有联系rickjin在blog中的博客介绍：

其实，这个时候，我们在得到这一堆词的主题向量w的时候，剩下的工作就是去查前面投骰子的时候，对于这堆词w中的每个词w_i都分别指定了哪个主题，然后用一个类似于“查表”的过程得到它的出现概率。所以，根据论文【1】中的描述，有了下划线出的哪个中间公式，说的很清楚啊，{i, zi=k}这个集合，精髓啊，这个时候在得到倒数第二步，就非常直观了对不对！

3）倒数第二部得到倒数最后一步，去掉了积分符号，是因为用到了一个性质：
（4）
我在公式（3）中用括号分别括起来，△(α)、△(β)和积分无关，可以移到积分符号外面，所以就得到最后的等式。

至此，我们就得到了文档（用词向量表示）和主题的完全数据条件概率分布：
（5）

有了这个完全数据条件概率分布，那么，我们就可以借助Gibbs采样算法，来对每个词w_i来更新它的主题（隐含变量，EM算法什么的这个时用起来了，这里介绍吉布斯采样），更新过程公式如下：
（6）

公式（6）中，有几点需要注意：
1）公式出来第一步，可以联想：p(A|BC)=p(ABC)/p(AB)，分母中去掉了A就好了；
2）得到①的分母，我们要注意w={wi, w_-i}，上面的z也一样
3）得到②，吸取了上面公式（3）在推导过程中的结果，在明确主题 z和文档m的时候，外面的连乘符号需要去掉；
4）得到公式③就是把Dirichlet中的△展开来，△定义如下：
（7）
顺便把Dirichlet分布也给出来了。
5）得到④用到了伽马函数的性质：

6）得到⑤，是因为在④中第二个式子的分母和是一个常数，和主题的条件概率无关，可以不考虑

这个每个词的主题迭代更新过程，用到了马氏链的平稳分布性质（这点很关键，第二节将会重点介绍我在看rickjin的blog时关于这个的一些领悟）。当各词的主题分布平稳之后，我们根据求得到的分布（每篇文档中每个词的主题概率），就可以求得每篇文章的主题分布θ、和主题下的词分布φ：
(8)
可以看出这两个后验分布和对应的先验分布一样，仍然为Dirichlet分布，这也是共轭分布的性质决定的。使用Dirichlet分布的期望计算公式，得到：
（9）

二、Gibbs 采样及马氏链平稳性质
待续…

参考文献：
本博客只是一篇读书笔记性质的，参考了较多其它前辈大牛、相关论文的成果，秉着分享知识的初衷，无意侵权。
- 概率语言模型及其变形系列(2)-LDA及Gibbs Sampling
- LDA-math-LDA 文本建模
- Gregor Heinrich. Parameter estimation for text analysis. Technical report, 2004

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