Hadamard变换

原地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6dcd52870100yl2v.html

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%98%BF%E8%BE%BE%E9%A9%AC%E5%8F%98%E6%8D%A2

哈达玛（Hadamard)矩阵是由+1和-1元素构成的正交方阵。所谓正交方阵，指它的任意两行（或两列）都是正交的。把行（或列）看作一个函数，任意两行（或两列）都是正交的 H2n=[Hn Hn;Hn -Hn].在现在的视频编码标准中，阿达马变换多被用来计算SATD(一种视频残差信号大小的衡量)。

变换矩阵

在H.264中使用了4阶和8阶的阿达马变换来计算SATD，其变换矩阵为：

SATD计算方法

当计算4x4块的SATD时，先使用下面的方法进行二维的阿达马变换：

然后计算所有系数绝对值之和并归一化。
类似的，当计算8x8块的SATD时，先使用下面的方法进行二维的Hadamard变换：

然后计算所有系数绝对值之和并归一化。

构建阿达马变换


阿达马变换转换主要型式为  点的转换矩阵，其最小单位矩阵为 2x2 的阿达马变换矩阵，以下分别为二点、四点与如何产生  点的阿达马变换转换步骤。

二点阿达马变换转换：

四点阿达马变换转换：

产生点阿达马变换的步骤：

步骤一： 
步骤二： 根据正负号次序 (Sign change,正负号改变次数) 将矩阵 (Matrix) 内的列向量座顺序上的重新排列。

范例

优缺点比较

优点

仅需实数运算 (Real operation) 。
不需乘法运算 (No multiplication) ，仅有加减法运算。
有部分性质类似于离散傅立叶变换 (Discrete fourier transform) 。
顺向转换 (Forward transform) 与反向转换 (Inverse transform ) 型式为相似式。

其中  与  分别都为行向量 (Column vector) 。

缺点

其收敛速度较离散余弦变换慢，因此对于频谱分析的效果较差。
其加减法量较离散傅立叶变换、离散余弦变换多。

Hadamard变换

for (j=0;j<16;j)
   {
       for (i=0;i<16;i)
       {
       M1[ i ][j]=imgY_org[img->opix_y+j][img->opix_x+i]-img->mprr_2[k][j][ i ];

//计算当前宏块残差块
        M0[i%4][i/4][j%4][j/4]=M1[ i ][j];
       }
   }
   current_intra_sad_2=0;              // noSADstart handicap here
   for (jj=0;jj<4;jj)
   {
     for (ii=0;ii<4;ii)
     {
      for (j=0;j<4;j)                                                      第一次一维Hadamard变换
      {
         M3[0]=M0[0][ii][j][jj]+M0[3][ii][j][jj];
         M3[1]=M0[1][ii][j][jj]+M0[2][ii][j][jj];
         M3[2]=M0[1][ii][j][jj]-M0[2][ii][j][jj];
         M3[3]=M0[0][ii][j][jj]-M0[3][ii][j][jj];
         M0[0][ii][j][jj]=M3[0]+M3[1];
         M0[2][ii][j][jj]=M3[0]-M3[1];
         M0[1][ii][j][jj]=M3[2]+M3[3];
         M0[3][ii][j][jj]=M3[3]-M3[2];
      }
      for (i=0;i<4;i)
      {
         M3[0]=M0[ i ][ii][0][jj]+M0[ i ][ii][3][jj];
         M3[1]=M0[ i ][ii][1][jj]+M0[ i ][ii][2][jj];
         M3[2]=M0[ i ][ii][1][jj]-M0[ i ][ii][2][jj];
         M3[3]=M0[ i ][ii][0][jj]-M0[ i ][ii][3][jj];
第二次一维Hadamard变换
         M0[ i ][ii][0][jj]=M3[0]+M3[1];
         M0[ i ][ii][2][jj]=M3[0]-M3[1];
         M0[ i ][ii][1][jj]=M3[2]+M3[3];
         M0[ i ][ii][3][jj]=M3[3]-M3[2];
         for (j=0;j<4;j)
         if ((i+j)!=0)
         current_intra_sad_2 += abs(M0[ i ][ii][j][jj]);      变换后的AC残差值取绝对值求和作为代价
      }
     }
   }
   for (j=0;j<4;j)
   for (i=0;i<4;i)
   M4[ i ][j]=M0[0][ i ][0][j]/4;
   // Hadamard of DC koeff
   for (j=0;j<4;j)     后面两个for循环对当前宏块的DC残差进行Hadamard变换并将变换后的值取绝对值求和作为代价
   {
      M3[0]=M4[0][j]+M4[3][j];
      M3[1]=M4[1][j]+M4[2][j];
      M3[2]=M4[1][j]-M4[2][j];
      M3[3]=M4[0][j]-M4[3][j];
      M4[0][j]=M3[0]+M3[1];
      M4[2][j]=M3[0]-M3[1];
      M4[1][j]=M3[2]+M3[3];
      M4[3][j]=M3[3]-M3[2];
   }
   for (i=0;i<4;i)
   {
      M3[0]=M4[ i ][0]+M4[ i ][3];
      M3[1]=M4[ i ][1]+M4[ i ][2];
      M3[2]=M4[ i ][1]-M4[ i ][2];
      M3[3]=M4[ i ][0]-M4[ i ][3];
      M4[ i ][0]=M3[0]+M3[1];
      M4[ i ][2]=M3[0]-M3[1];
      M4[ i ][1]=M3[2]+M3[3];
      M4[ i ][3]=M3[3]-M3[2];
      for (j=0;j<4;j)
      current_intra_sad_2 += abs(M4[ i ][j]);
    }
    if(current_intra_sad_2 < best_intra_sad2)
    {
      best_intra_sad2=current_intra_sad_2;
      *intra_mode = k; // update best intra mode
     }
}
  }
   best_intra_sad2 = best_intra_sad2/2;
   return best_intra_sad2;
}
以上是源程序里的一段，intra_16*16并不是计算SAD值，而是计算SATD。
其中M1中放的是宏块的残差，M0也是，不过为了下面计算HADAMARD变换方便，他表示成M0[4][4][4][4]的形式，前2个[4][4]表示8X8块坐标，后2个[4][4]表示一个8X8里的4X4块坐标。
程序先对残差进行HADAMARD变换，然后把所有的DC分量提出来，再对DC分量做HADAMARD变换，
最后得到的是SATD。
有两点不明白，谁知道的解释一下：
1 在提取DC分量时为什么要除以4？
2 最后的best_intra_sad2 为什么要除以2？

这主要是由于SATD变换不是归一化矩阵，变换后的系数值幅值增加，因此要相应的/2和/4

hadamard 变换本身就有一个 /2 的操作，因此每次变换都要对所有系数进行 /2。而 find_sad_16x16 函数执行了两次 hadamard 变换：首先对 256 个系数进行一次，其次对所有 DC 系数再做一次，因此对 DC 系数应该 /4，而对 AC 系数应该 /2。find_sad_16x16 函数中的：M4[ i ][j]=M0[0][ i ][0][j]/4;就是对 DC 系数 /4，而最后的：best_intra_sad2 = best_intra_sad2/2;可以认为是对 AC 系数的变相 /2。但这里相当于是对所有系数 /2，所以 DC 系数多了一次 /2。这个多的一次就不知道原因了。

264乐园群里探讨过这个问题。对于hadamard变换的/2已经有了结论。但是对DC系数多除的那一次2，目前尚未找到根据。
4阶hadamard变换的定义式本身就是包含了这个/2的。可以见http://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard_transform。这里再多解释一点
假设hadamard变换没有/2, 变换矩阵为：
1  1   1  1
1 -1   1 -1
1  1 -1 -1
1 -1 -1  1
这时对一个列向量v = (1, 1, 1, 1)'做变换，即用变换矩阵左乘列向量v，得到的变换后向量v' = (4, 0, 0, 0)'。
现在观察v和v'，在欧氏空间中，对一个向量的“大小”的衡量就是其长度，通过计算内积得到。那么
len(v)   = sqrt( 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2) = 2
len(v') = sqrt( 4^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2) = 4
由此可见如果没有那个/2，变换前后，该向量的长度发生了变化。这样的变换是违背正交变换的定义的。

所以，作为正交变换的hadamard变换，必须要有这个/2的归一化。

A:推而广之，整数 DCT 变换在变换前后向量的长度也发生了变化，为什么没有除以 2 呢？

DCT变换（非整数）也是归一化的整数变换也是正交变换，所以也一定会满足归一化的。firstime是不是忘记把scaling matrix考虑进来了啊。

按照毕厚杰书上 113 页，变换矩阵为公式 6.15（这个时候 scaling matrix 还没分离出来吧？）：
a   a   a   a
b   c -c -b
a -a -a   a
c -b   b -c
其中 a = 1/2，b = (2/5)^0.5。这个矩阵对列向量v = (1, 1, 1, 1)'做变换前后的向量长度并不相等啊。

才发现毕厚杰书上的DCT变换矩阵是错的。。。。第二行第四列应该是-b
应该是
a  a  a  a
b  c -c  -b
a -a -a  a
c -b  b -c

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