数学基础task07 多元微分学

平面点集

平面上任意两点M1(x1,y1),M2(x2,y2)M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)M1(x1,y1),M2(x2,y2)之间的距离定义(欧氏距离)：

ρ(M1,M2)=(x2−x1)2+(y2−y1)2\rho(M_1,M_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}ρ(M1,M2)=(x2−x1)2+(y2−y1)2

满足三要素：（范数也满足）

非负性 ρ(M1,M2)≥0\rho(M_1,M_2)\ge 0ρ(M1,M2)≥0

对称性 ρ(M1,M2)=ρ(M2,M1)\rho(M_1,M_2)=\rho(M_2,M_1)ρ(M1,M2)=ρ(M2,M1)（不区分主次）

三角不等式 ρ(M1,M3)≤ρ(M1,M2)+ρ(M2,M3)\rho(M_1,M_3)\le\rho(M_1,M_2)+\rho(M_2,M_3)ρ(M1,M3)≤ρ(M1,M2)+ρ(M2,M3) (三角形里面两边之和大于第三边，共线划等)

设M0M_0M0为平面上一点，δ>0\delta>0δ>0，则平面上以点M0M_0M0为圆心,以δ\deltaδ为半径的圆内部为：M0的δ邻域，即U(M0,δ)M_0的\delta邻域，即U(M_0,\delta)M0的δ邻域，即U(M0,δ)

(上述邻域为圆邻域，还有一种邻域叫方邻域，方邻域常用于数学分析，两个邻域得出的结论一般相同)

若在上述邻域中去掉圆心，则为:点M0是δ去心邻域，即U˚(M0,δ)点M_0是\delta去心邻域，即\mathring{U}(M_0,\delta)点M0是δ去心邻域，即U˚(M0,δ)

内点：一个点的邻域存在于某一点集里，则称为该点为该点集的内点。

外点：一个点的邻域与某一点集不存在交集，则称为该点为该点集的外点。

边界点：一个点的邻域中的点有存在于点集中的也有存在于点集外的，则称该点为该点集的边界点。

设EEE为一个平面点集,若存在常数δ>0\delta>0δ>0，使得E⊂U(O,δ)E\subset U(O,\delta)E⊂U(O,δ)（这里的O是坐标原点）,则EEE为有界集，否则为无界集。

（一个点集能被有限圆邻域控制住就是有界集）

开集、闭集：点集内每个点都是点集的点该点集就是开集，点集的边界点都是点集的点该点集就是闭集。

连通集：点集内任意两点都可以用一条完全属于该点集的折线（曲线）将这两点连接起来该点集为连通集。连通的开集为开区域，开区域和它边界点集的并集为闭区域。

聚点：设EEE是一个平面点集，M0M_0M0为平面上一个点，若对任意的δ>0\delta>0δ>0有U˚(M0,δ)∩E≠ϕ\mathring{U}(M_0,\delta)\cap E\ne \phiU˚(M0,δ)∩E=ϕ，即M0M_0M0的任意邻域中都有异于M0M_0M0的EEE中的点，则M0M_0M0为EEE的聚点,非空开集的内点与边界点都是聚点，闭区域的任何一点都是它的聚点。

孤立点：若存在δ>0\delta>0δ>0，使得U(M0,δ)∩E=M0U(M_0,\delta)\cap E={M_0}U(M0,δ)∩E=M0，即如果M0M_0M0某一邻域与点集的交集是一个孤立的点，则M0M_0M0为EEE的孤立点，边界点要么是聚点要么是孤立点。

极限(重极限)

第一种定义（数学分析点集角度）

第二种定义（高等数学邻域角度）

累次极限：lim⁡x→0lim⁡y→0f(x,y)\lim\limits_{x\to0}\lim\limits_{y\to0}f(x,y)x→0limy→0limf(x,y) lim⁡y→0lim⁡x→0f(x,y)\lim\limits_{y\to0}\lim\limits_{x\to0}f(x,y)y→0limx→0limf(x,y) (分先后顺序)

重极限和累次极限的联系：

如果累次极限和重极限同时存在，那么这三个值肯定相等。
如果累次极限两个都存在但不相等则重极限不存在。

连续

如果lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0)，则称f(x,y)f(x,y)f(x,y)关于DDD在点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)处连续。（聚点）

孤立点必连续！

多元函数微分

判断z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)是否可微分：

偏导数

连续的条件下，两个混合偏导数相等。

链式求导规则

隐函数存在定理

单值函数：一个x对于一个y值

多值函数：一个x对应多个y值

显函数：y=f(x)y=f(x)y=f(x)

隐函数：F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0

隐函数存在定理1：

F(x0,y0)=0,F(x,y)=0F(x_0,y_0)=0,F(x,y)=0F(x0,y0)=0,F(x,y)=0，函数F(x,y)F(x,y)F(x,y)在点P(x0,y0)P(x_0,y_0)P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数，Fy′(x0,y0)≠0F_y'(x_0,y_0)\ne0Fy′(x0,y0)=0，则能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)，它满足y0=f(x0)y_0=f(x_0)y0=f(x0)

并且有dydx=−Fx′Fy′\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x'}{F_y'}dxdy=−Fy′Fx′(隐函数求导公式)

推广：

多元函数的极值和最值

若题目未给定准确的求广义和真正的极值最值，最好求广义，广义比真正好求！

无条件极值：

万能方法：先求驻点，再验证驻点是否是真正的偏导数点，把所有的偏导数点写成一个矩阵（海瑟矩阵）正定矩阵则是极小值点，负定矩阵则是极大值点，不定矩阵则不是极值点，半正定半负定矩阵则是可疑点。（相较于上述（2）万能方法也适用于三元以上的函数）

矩阵的任意一个特征值都是正数（负数）就是正定矩阵（负定矩阵）

条件极值与拉格朗日乘数法：

ps:最近开学事多，任务完成度不高，但从今天开始补上！

书籍学习源自：《张宇基础30讲》《张宇考研数学1000题》
视频学习：数学基础–萌弟AI
本文章仅仅作打卡个人使用。