1310. 数三角形（组合数学）

题目描述

给定一个 n×m 的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。
下图为 4×4 的网格上的一个三角形。

注意：三角形的三点不能共线。

输入格式

输入一行，包含两个空格分隔的正整数 m 和 n。

输出格式

输出一个正整数，为所求三角形数量。

数据范围

1≤m,n≤1000

输入样例
2 2
输出样例
76

题目分析

我们直接算组成三角形的数量并不好算，因此我们可以反过来，先算出所有的选择，再减去其中不合法的方案我们直接算组成三角形的数量并不好算，因此我们可以反过来，先算出所有的选择，再减去其中不合法的方案我们直接算组成三角形的数量并不好算，因此我们可以反过来，先算出所有的选择，再减去其中不合法的方案即可。即可。即可。

首先，在网格的所有点中任取三个点的方案数为： C n ∗ m 3 首先，在网格的所有点中任取三个点的方案数为：C_{n*m}^3 首先，在网格的所有点中任取三个点的方案数为：Cn∗m3

然后，再减去所有不合法（三点组成一条直线）的情况：然后，再减去所有不合法（三点组成一条直线）的情况：然后，再减去所有不合法（三点组成一条直线）的情况：
1 、三点组成的直线斜率为 0 （三个点在一行上）的情况： n ∗ C m 3 （一共有 n 行，每行上有 m 个点） 1、三点组成的直线斜率为0（三个点在一行上）的情况：n*C_m^3（一共有n行，每行上有m个点） 1、三点组成的直线斜率为0（三个点在一行上）的情况：n∗Cm3（一共有n行，每行上有m个点）
2 、三点组成的直线斜率为 ∞ （三个点在一列上）的情况： m ∗ C n 3 （一共有 m 列，每列上有 n 个点） 2、三点组成的直线斜率为∞（三个点在一列上）的情况：m*C_n^3（一共有m列，每列上有n个点） 2、三点组成的直线斜率为∞（三个点在一列上）的情况：m∗Cn3（一共有m列，每列上有n个点）

3 、三点组成的直线斜率不为 0 和 ∞ 的情况，这时的斜率分为大于 0 和小于 0 ，因为这两种情况是对称的，因此我们 3、三点组成的直线斜率不为0和∞的情况，这时的斜率分为大于0和小于0，因为这两种情况是对称的，因此我们 3、三点组成的直线斜率不为0和∞的情况，这时的斜率分为大于0和小于0，因为这两种情况是对称的，因此我们只需要求出大于 0 的情况即可（小于 0 的方案数与大于 0 的方案数相等）。只需要求出大于0的情况即可（小于0的方案数与大于0的方案数相等）。只需要求出大于0的情况即可（小于0的方案数与大于0的方案数相等）。
我们可以枚举网格中所有低为 i ，高位 j 的斜边，该边的两个端点为三角形的两个点，第三个点在直线的内部。我们可以枚举网格中所有低为i，高位j的斜边，该边的两个端点为三角形的两个点，第三个点在直线的内部。我们可以枚举网格中所有低为i，高位j的斜边，该边的两个端点为三角形的两个点，第三个点在直线的内部。
首先，这样的直线有 ( n − i ) ∗ ( m − j ) 个，每条直线内部第三个点的选择方案数为 g c d ( i , j ) − 1 。首先，这样的直线有(n-i)*(m-j)个，每条直线内部第三个点的选择方案数为gcd(i,j)-1。首先，这样的直线有(n−i)∗(m−j)个，每条直线内部第三个点的选择方案数为gcd(i,j)−1。

因此，对于每一个 ( i , j ) ，其方案数有： ( n − i ) ∗ ( m − j ) ∗ ( g c d ( i , j ) − 1 ) 因此，对于每一个(i,j)，其方案数有：(n-i)*(m-j)*(gcd(i,j)-1) 因此，对于每一个(i,j)，其方案数有：(n−i)∗(m−j)∗(gcd(i,j)−1)

代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <set>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair<int,int>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=1e6+5,INF=0x3f3f3f3f;
LL C(int n)                     //求C(n,3)的函数，因为本题中只会用到求C(x,3)的方法
{return (LL)n*(n-1)*(n-2)/6;
}
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;n++,m++;                     //行列的点数为网格数+1LL ans=C(n*m)-m*C(n)-n*C(m); //先算出所有选择减去前两种情况for(int i=1;i<=n;i++)            //减去第三种情况for(int j=1;j<=m;j++)ans-=2ll*(__gcd(i,j)-1)*(n-i)*(m-j);  //因为有斜率为正和负两种情况，因此还要乘2cout<<ans<<endl;return 0;
}