信息安全基础综合实验之Fermat素性检验算法（通过调用miracl大数库来实现）

信息安全基础综合实验总共包含有二大块的内容，分为小组作业（小组作业有四项任务，为Fermat素性检验算法、中国剩余定理、密钥分配以及SM3的实现）和个人作业（SM2加密算法的实现），我也会分别通过五篇博客来分别记录。先进行小组作业，等把小组作业的四次做完之后，就可以对Miracl库的使用基本上掌握了。

俗话说的好，要做实验，肯定要先搭建环境，环境两小时，实验五分钟。而实验所需要的环境就是把miracl库添加进来即可。首先编译miracl包，参加我同学W的这个博客：https://blog.csdn.net/Baron_wu/article/details/83151473，里面讲述了如何生成所需要的miracl.lib，如果搞不定的话，那就来问我索取吧(邮箱联系308904186@qq.com)；得到了这个包之后，那环境就算是完成了90%了，下面是在Visual Studio中调用此库即可，过程可以继续参考我这个同学W的另外一篇博客：https://blog.csdn.net/Baron_wu/article/details/83177251。通过这两个步骤后，就可以很开心的去编程吧！顺便感谢一下这个同学W，为什么他的出镜率这么高呢，因为我们两个是一组的，当时为了能够成功地调用Miracl库也是费了一番心思。

那下面就切入正题，看看如何通过Miracl库来实现Fermat素性检验算法。因为这是第一篇的博客嘛，除了对Fermat素性检验的介绍之外，对于一些Miracl库中的函数也会有一个很简单的介绍。

一、实验目的

在前面的四次小实验中，对我们的考察难度不是很大，四个小实验对我们提出来的要求是，通过完成验证四个定理的过程，让我们能够相比较才学习信息安全数学基础与现代密码学时，能更加详细的了解关于这四个定理的内容。第一次的实验是使用Fermat素性检验算法（这是一个概率性算法），来判断从文本文件中输入进去的大整数是不是一个素数。在平时我们接触到的C语言结构中，最大的表示数值是unsigned int型数据，其最大可以表示数据 $2^{64}$ ，也就是八个字节的大小，即使是这样，对于我们信息安全实验来说，这样的数据类型长度是远远不够的。在实验中，我们需要用到miracl函数库，它定义了两种新的数据类型——表示大整数的big类型和表示有理数的flash（short for floating-slash）类型。通过本次实验，可以让我们熟悉miracl库中的一些基本操作函数，将Fermat素性检验算法在实验中展示出来。

二、方案设计

2.1 Fermat素性检验

也就是说，要判断一个奇整数是不是素数（如果这个数是偶数那肯定就不是素数了），我们可以通过随机选取同m互为质数的一个整数a（如果m和a不互质的话，那么m也肯定不是素数），判断m和a是否满足费马小定理，如果满足的话，m就会以不低于 $\frac{1}{2}$ 的概率是一个素数。对于这个定理的证明，我也去网上查找了相关的资料，但是依旧对这个定理的证明不是特别的了解，等到以后能力提升再来读懂此定理的证明，也不在报告里附上此定理的证明了。

下面是Fermat素性检验算法的步骤，这儿我用一张图来阐明Fermat素性检验算法的原理：

2.2 关于Fermat素性检验算法单身的背景以及Carmichael数

人们自然会想，如果考虑了所有小于n的底数a，出错的概率是否就可以降到0呢？没想到的是，居然就有这样的合数，它可以通过所有a的测试。第一个发现这样极端的伪素数，他把它们称作Carmichael数。你一定会以为这样的数一定很大。错。第一个Carmichael数小得惊人，仅仅是一个三位数，561。前10亿个自然数中Carmichael数也有600个之多。Carmichael数的存在说明，我们还需要继续加强素性判断的算法。

比如说，1105就是一个Carmichael数，对于用Fermat素性检验算法来判断1105（十六进制下表示是451）是不是质数，得出的结果是1105能够以98.4375的概率成为一个素数。所以这点很直观的体现出了Fermat素性检验是一个概率性算法。

三、方案实现

3.1算法流程图

3.2 主要函数的介绍

   引入了miracl库后，其中定义了两种新的数据类型——表示大整数的big类型和表示有理数的flash（short for floating-slash）类型，因此随之也引入了能够操作big类型和flash类型的操作函数。整体上来说，完成实验所需要的语言是C语言，但是在其中一些关键地方的操作上，我们需要使用库中自己定义的函数，将这些函数的功能了解后，基本上写出Fermat素性检验算法就没有什么问题了。在miracl_5.5.4中，附带着一个manual.doc文件供我们参考，里面有所有函数的定义以及如何使用等，这个文件对于我们了解如何使用miracl库有非常重要的作用。

3.2.1 mirsys()

函数原型: miracl *mirsys(int nd, int nb);

功能说明: 初始化当前程序线程的MIRACL系统，如下所述,必须在尝试使用任何其他MIRACL例程之前调用:

（1）初始化错误跟踪机制。

（2）从nd和nb计算用于每个大/闪存号的计算机字数。

（3）初始化了16个大的工作变量（其中4个为双倍长度）。

（4）某些实例变量被赋予默认初始值。

（5）通过调用irand（0L）启动随机数发生器。

这个函数的返回值是是一个miracl实例指针，通过它可以访问所有实例变量，如果没有足够的内存来创建实例，则为NULL。

操作实例是miracl *mip=mirsys(500,10)，意思是我定义的这些变量最大长度都是500位（这个位是后面进制的位数），输入、输出、运算用的进制都是10进制。

3.2.2 实例变量IOBASE

IOBASE是用于控制输入和输出的进制问题的，可以在程序中随意更改，必须大于或等于2且小于或等于256。使用实例是像这样的：mip->IOBASE=16，这样子输入的变量和输出的变量所使用的进制都是十六进制。

3.2.3 mirvar()

函数原型：flash mirvar(iv)

功能说明：通过为其保留适当数量的内存位置来初始化大/闪存变量，可以通过对函数mirkill()的后续调用来释放该存储器。并且在程序中，每个big型变量都必须赋初始值，否则会出错。

例如上面的这段代码是用来演示没有初始化big型变量带来的错误，如果没有初始化变量，在compile和build阶段系统都会告诉我们没有警告，没有错误，但是一旦执行可执行文件后，系统就会崩溃。出错信息如下：

3.2.4 decr()

函数原型：void decr(x,n,z)

big x,z;

int n;

这个函数实现的功能是对一个big型的变量x减去一个int型的值后得出的big型数据，例如我们在Fermat素性检验算法中，产生的随机数范围在2至m-2中，如果我们需要得出m-2的话，有两种途径：第一，如果将减去的2视作为int类型的话，直接相减是不可行的，相当于是big型减去int型，需要用到这个函数，即decr(m,2,y),返回的结果是big y=m-2；第二，如果将2作为大数来看待的话，就需要先用negify()函数取2的复数，再使用add()函数得到m-2的结果。

3.2.5 bigrand()&bigdig()

函数原型: void bigrand(big w, big x);

功能说明: 使用内置的随机数发生器，产生一个小于w的大数随机数，x<w

函数原型: void bigdig(int n, int b, big x);

功能说明: 产生一个指定长度的进制的随机数，该函数使用内置的随机数发生器，初始化种子调用irand函数。

这两个函数都是可以生成随机数的，但是它们的功能确实略有差异的。bigrand()是产生一个小于w的大数随机数，x<w，如果w是一个十位的十进制数，那么x可能是一个十位的十进制数，只有九位的十进制数，也可能使只有一位的十进制数；bigdig()是产生一个指定长度的进制的随机数，比如说指定了产生一个十位的十进制数，那么这个函数就会严格的产生一个十位的十进制数。

上面的截图是我测试的bigdig()这个函数，为了验证这个函数是产生一个指定长度的进制的随机数，我在这里只让它生成二位十进制数，并且循环随机生成一千次（这种情况下，从概率角度来说，0-100这些数每个数出现的次数都能平均在10次左右），从输出的结果中看，只会产生10-99这个区间内的数，不会产生01、05这样的一位十进制数，证明了bigdig()只会产生指定长度的进制的随机数。

下面的截图是我测试的bigrand()这个函数的功能，和上面测试的原理是一样的，在这次的输出结果中，可以看到不仅仅有二位十进制数字，还有一位十进制数字，证明了bigrand()是产生一个小于给定数值的大数随机数。

在Fermat素性检验算法中，每轮的算法使用到的底数a是在2至m-2这些数中随机选取一个数作为底数，然后进行下面的算法，因此，在每轮中随机选取出的随机数必须是表现出完全的随机性。因此对于随机函数的选择是十分有必要的，在这里我选择的是bigrand()。

3.2.6 compare()

函数原型: int compare(big x, big y);

功能说明: 比较两个大数的大小。

返回值: x>y时返回+1, x=y时返回0, x<y时返回-1。在这里需要注意的是，compare()函数比较的是两个big类型的数，此函数的返回值是int型的+1和-1。

3.2.7 egcd()

函数原型:   int egcd(bigx, big y, big z);

功能说明:计算两个大数的最大公约数，z=gcd(x,y)。

3.2.8 powmod()

函数原型: void powmod(big x, big y,big z, big w);

功能说明: 模幂运算。

3.2.9 mirkill()

函数原型：void mirkill(x)      big x;

功能说明：通过将其归零并释放其内存来安全地杀死大/闪存数字。

3.2.10 mirexit()

函数原型: void mirexit();

功能说明: 清除MIRACL系统，释放所有内部变量。

3.3 算法实现的主要代码
#include "miracl.h"
#include <time.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define round 6
int Fermatjdu_prime(big obj);
main()
{FILE *fp;big obj;miracl *mip = mirsys(1500, 16);//定义的这些变量最大长度都是5000位（这个位是后面进制的位数），输入、输出、运算用的进制都是16进制。mip->IOBASE = 16;obj=mirvar(0);   //初始化变量obj，obj是输入的需要判断是否为素数的大数if((fp=fopen("data.txt","r+"))==NULL){printf("Open the file failure...\n");exit(0);} //判断文件是否能够正确打开while(!feof(fp)){    //检测文件结束符cinnum(obj, fp); //从文件中读取一个数字进入，并将其强制转化为十六进制表的大数objcotnum(obj, stdout); //向屏幕上输出一个大数objif (Fermatjdu_prime(obj))printf("This number has a %6.4f%% probability of being a prime number.\n", 100 * (1 - pow(0.5, round)));elseprintf("This number is 100%% definitely a Composite number! \n");}fclose(fp);mirkill(obj);  //释放大数obj所占用的空间mirexit();     //清楚miracl系统
}int Fermatjdu_prime(big obj)
{
big radn,trans,mgcd,trans1,r,num1,num2,cons;
int i,j;
miracl *mip = mirsys(1500, 16);
mip->IOBASE=16;
radn=mirvar(0);//对函数中使用到的big型变量进行初始化
trans=mirvar(0);
mgcd=mirvar(0);
trans1=mirvar(0);
r=mirvar(0);
num1=mirvar(1);
num2=mirvar(2);
cons=mirvar(0);
i=0;
j=0;
decr(obj,2,trans);    //trans=obj-2
decr(obj,1,trans1);   //trans=obj-1
srand((unsigned int)time(NULL));
for(i=0;i<round;i++)
{bigrand(obj,radn); //生成所需要的随机数egcd(radn,obj,mgcd);  //计算obj和生成的随机数的最大公因数if(!compare(mgcd,num1))  //判断obj和随机数是否互素，它们的最大公因数如果不是1的话，compare函数将会返回1，不满足条件{powmod(radn,trans1,obj,r);  //计算 ，如果r=1，则obj可能是素数，进入下一个if语句if(!compare(r,num1))  j++  //j是判断因子，如果一个数能够满足在当前的轮数下，满足上述的算法，则j能够计数；如果j不等于轮数，那么这个数就不是素数;}
}if(j==round)return 1;else return 0;mirkill(obj);
mirkill(radn);
mirkill(trans);
mirkill(trans1);
mirkill(r);
mirkill(mgcd);
}

四、数据分析

在这部分的数据分析时，还未给老师验收，这部分测试的数据是我自己生成的数。这些数据是我借鉴的一个同学用python脚本写出来的，生成的时候是按一个合数一个素数进行生成的，用写成的算法跑了一下之后，和预期是一样的，用Fermat素性检验算法能够把里面所有的合数都检测出来，里面所有的素数都能够以概率98.4375%确定（轮数是六轮，当然这些数都是自己生成的素数，所以可以判断写出的程序没有问题）。

此外，在查阅资料的过程中，有这样的一种数的存在，即Carmichael数，我用自己的程序也跑了一下，确实这种数对于Fermat素性检验算法来说无法识别。

五、总结

在本次上机实验中，主要需要我们解决的问题有两个方面：一方面是实验环境的搭建，另外一方面是对miracl库中的函数需要一定的熟悉度。我们组在环境的搭建上采用了两条路线，一条是Win10系统+编译器是Visual Studio，另外一条的环境就是和实验室一样的Win7系统+编译器是Visual C++ 6.0。最初拿到实验任务，首先想到的肯定是网上搜索一翻资料看看如何配置这样的环境，在网上看到的一个比较靠谱的教程是叫我们将miracl.h、mirdef.h以及ms32.lib添加到工程下面，miracl.h、mirdef.h这两个文件直接可以在/include文件夹下找到，但是找不到ms32.lib这个链接库，所以我们就去CSDN上下载了一个别人编译过的链接库，但是装入到工程下面后，经过一些简单的调试却出错：告诉我们连接不到这个库，所以从网上下载的ms32.lib是不完善的库。所以我们决定自己编译一下静态链接库。

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