小知识

总体XXX,均值方差存在，分别为μ,σ2\mu,\sigma^2μ,σ2
X1,...,XnX_1,...,X_nX1,...,Xn是来自XXX的一个样本
X‾,S2\overline{X},S^2X,S2是样本均值和方差
于是有E(X‾)=μ,E(S2)=σ2E(\overline{X})=\mu,E(S^2)=\sigma^2E(X)=μ,E(S2)=σ2 D(X‾)=σ2nD(\overline{X})=\frac{\sigma^2}nD(X)=nσ2
也就是说，样本均值和样本方差的期望=总体
对于正态分布来说，只要确定①服从正态分布②已知期望和方差⇒\Rightarrow⇒确定分布
- 设X∼N(μ,σ2)⇒X‾服从正态分布X\sim N(\mu,\sigma^2)\Rightarrow\overline{X}服从正态分布X∼N(μ,σ2)⇒X服从正态分布

定理1

X1,...,XnX_1,...,X_nX1,...,Xn是来自X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)的一个样本
X‾∼N(μ,σ2n)\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}n)X∼N(μ,nσ2)

定理2

X1,...,XnX_1,...,X_nX1,...,Xn是来自X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)的一个样本
①(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)
②X‾与S2\overline{X}与S^2X与S2相互独立

定理3

X‾−μS/n∼t(n−1)\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)S/nX−μ∼t(n−1)

证明：

X‾−μσ/n∼N(0,1)\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)σ/nX−μ∼N(0,1)
(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)

定理4

X1,...,Xn1∼N(μ1,σ12),Y1,...,Yn2∼N(μ2,σ22)X_1,...,X_{n_1}\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y_1,...,Y_{n_2}\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)X1,...,Xn1∼N(μ1,σ12),Y1,...,Yn2∼N(μ2,σ22)
(X1,...,Xn1)与(Y1,...,Yn2)(X_1,...,X_{n_1})与(Y_1,...,Y_{n_2})(X1,...,Xn1)与(Y1,...,Yn2)相互独立
①S12/S22σ12/σ22∼F(n1−1,n2−1)\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)σ12/σ22S12/S22∼F(n1−1,n2−1)
②σ1=σ2=σ\sigma_1=\sigma_2=\sigmaσ1=σ2=σ时，(X‾−Y‾)−(μ1−μ2)Sw1n1+1n2∼t(n1+n2−2)\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{S_{w} \sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}} \sim t\left(n_{1}+n_{2}-2\right)Swn11+n21(X−Y)−(μ1−μ2)∼t(n1+n2−2) Sw2=(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2,Sw=Sw2S_{w}^{2}=\frac{\left(n_{1}-1\right) S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}, \quad S_{w}=\sqrt{S_{w}^{2}}Sw2=n1+n2−2(n1−1)S12+(n2−1)S22,Sw=Sw2

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正态总体的样本均值与样本方差的分布

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小知识

定理1

定理2

定理3

证明：

定理4

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