洒水车问题(路线有单向有双向)

在一个城市的某社区中，需要定期对社区道路进行洒水。下图是这个社区的街道示意图，其中“点”表示街道的交汇处，“边”表示需要洒水的街道，“边”上的数字表示每条街道的长度

（单位：m）。注意：洒水车只能按箭头方向行驶。

假定洒水车每次从“点”1处出发，每个方向的车道恰好只完成一次洒水任务，最后将洒水车停在“点”1处，假设洒水车的容量足够大，能够不需要中途加水就完成所有路面的洒水任

务。由于有些街道是单行线，因此有时候可能需要多次经过一条街道（每条街道的每个方向只洒水一次）。请为洒水车选择一条最佳路线，使得完成所有街道洒水任务所需的路程最

短。对于双向的街道，需要为每个方向的车道分别进行洒水。

记得第一次碰到这个题目是校赛建模的一个题目，当时刚拿到时还是有点懵逼的。后来google到HuangWei的这篇博客，关于中国邮递员问题和欧拉图应用才带给了我一定的思路。

虽然论文都已经交了两个月了，但今天在QQ群里看到一个类似的问题，又想了起，所以把它记录下来。

在洒水车问题上，若部分街道时双向，部分街道时单向时，已经被证明是NPC问题。不过这个题目看起来很巧，因为，我在把它看成两个图后，问题变得简洁多了。

首先，先把双向图抠出来。(手画见笑)

这直接一字画，不用多余的解释。接下来就只剩下单向的图了。

首先在原图上计算每个顶点 $v$ 的入度与出度之差 $d'(v)$ 。如果 $G$ 中所有的 $v$ 都有 $d'(v)=0$ ，那么G中已经存在欧拉回路。 $d'(v)>0$ 说明得加上出度。 $d'(v)<0$ 说明得加上入度。

而当 $d'(v)=0$ ，则不能做任何新增路径的端点。

这便成了一个网络流模型。

顶点 $d'(v)>0$ 对应于网络流模型中的源点，它发出 $d'(v)$ 个单位的流；顶点 $d'(v)<0$ 对应于网络流模型中的汇点，它接收 $-d'(v)$ 个单位的流；而 $d'(v)=0$ 的顶点，则对应

于网络流模型中的中间结点，它接收的流量等于发出的流量。在原问题中还要求增加的路径总长度最小，我们可以给网络中每条边的费用值设为图中对应边的长度。这样，在网络

中求最小费用最大流，即可使总费用最小。

在构建路径时，需要先判断，一个顶点周围四条边的大小。在这里，可将6顶点和9顶点看成一个整体。(图为经过构建网络流后，粗线是构建的路径)

最后可求出两个图的路径总和为5990。

转载于:https://www.cnblogs.com/clairvoyant/p/5815258.html

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