Hilbert变换和接收机（I）

参考：Razavi 射频微电子第四章

1.Hilbert变换和解析信号

Hilbert变换时域上是一个系统响应为 $\frac{1}{t}$ 的系统。信号通过此系统对应的频域变换为 $-jsgn(\omega)$ 。其中正频率成分乘-j，负频率成分乘j。对应时域操作又可视为90°移相（将信号相位减去90°）。Hilbert变换和Fourier变换的区别在于：Hilbert变换是时域到时域的转换。记某一信号 $x(t)$ 对应的Hilbert变换为 $\hat{x(t)}$ 。则解析信号为： $x(t)+j\cdot \hat{x(t)}$ 。

解析信号具有的性质是：其频谱分量只包含正频率成分。不包含负频率成分。

2、因果系统

实验室物理专业出身的师兄看来，因果系统就是事件发生速度低于光速的系统。而非因果系统反之。简单地理解，就是你没有加输入信号就能看到输出信号，说明波形发生这一事件比光速还快。在信号与系统里面，定义因果系统就是输出响应一定滞后与输入时间的系统。(如果输入是冲击 $\delta(t)$ ,那么输出一定能表现成某个函数乘上 $\varepsilon (t)$ 的形式)。用Hilbert变换的角度看，因果系统的频率响应一定要构成解析信号。为什么呢？因为实函数的频谱特性满足解析信号的特点。换句话说，能量全部集中在正频率成分。

3、正频率和负频率

这是一个由来已久的问题。有人认为负频率只有数学上的意义，有人认为负频率代表旋转方向为顺时针。这两种观点其实都没有问题。总之，数学上可以写出 $cos(-\omega t)$ ，物理上似乎 $-\omega$ 完全可以等效成 $+\omega$ 。但在接下来讨论如何利用Hilbert变换构成接收机时，会发现数学上做出区分是有重要性的。

4、实际中构造解析信号的两种方式:

Hilbert变换是一个移相器，这意味着只需要一个低通RC滤波可以实现。考虑到一阶RC的相移不够，那么采用高阶或者差分可以实现。但注意到这种方式有两个突出的问题，第一是物理上RC本身的不可靠，第二是频率。RC只能在一个窄带上去近似90°相移。所以这种构造方式实际中并不采用。

另一种是正交混频，也就是用同步的cos和sin信号和输入信号相乘，实现Hilbert变换。

5、cos和sin信号为什么能构成Hilbert变换？

数学上要证明一个实信号和cos相乘后卷积 $\frac{1}{t}$ 等于原信号乘sin是比较困难的（实际上也不相等，需要满足特定条件）。但频域上看就比较容易了。由于cos和sin本身就是一个相移90°的关系，sin信号本身就是cos的Hilbert变换。结合之前提到的，实信号的频谱是一个解析信号。可以从频谱上看到，对于频率高于本振的成分，混频后的两路信号构成Hilbert变换对，而对于频率低于本振的成分，则构成了负的Hilbert变换对。

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