题目描述

Robert站在原点，手握两枚质量不均匀的硬币。抛掷第一枚正面朝上的概率为p，抛掷第二枚正面朝上的概率为q。
Robert开始抛掷第一枚硬币，每次抛到反面就往x轴正方向走一步，直到抛到正面。
接下来Robert继续抛掷第一枚硬币，每次抛到反面就往y轴正方向走一步，直到抛到正面。
现在Robert想回来了，于是他开始抛第二枚硬币，抛到正面就往x轴负方向走一步，抛到反面就往y轴负方向走一步。
求Robert回到原点的概率。

题目分析

走到任意点(x,y)的概率是 (1−p)x+y∗p2 (1-p)^{x+y}*p^2
从(x,y)再走回原点的概率是 qx∗(1−q)y∗Cxx+y q^x*(1-q)^y*C_{x+y}^x
所以：
ans=∑oox=0∑ooy=0(1−p)x+y∗p2∗qx∗(1−q)y∗Cxx+y ans=\sum_{x=0}^{oo}\sum_{y=0}^{oo}(1-p)^{x+y}*p^2*q^x*(1-q)^y*C_{x+y}^x
现在我们枚举x+y和x：
ans=∑ooi=0∑ix=0(1−p)i∗p2∗qx∗(1−q)i−x∗Cxi ans=\sum_{i=0}^{oo}\sum_{x=0}^{i}(1-p)^i*p^2*q^x*(1-q)^{i-x}*C_i^x
=∑ooi=0p2(1−p)i∑ix=0qx∗(1−q)i−x∗Cxi =\sum_{i=0}^{oo}p^2(1-p)^i\sum_{x=0}^{i}q^x*(1-q)^{i-x}*C_i^x
=∑ooi=0p2(1−p)i((1−q)i∑ix=0(q1−q)x∗Cxi) =\sum_{i=0}^{oo}p^2(1-p)^i((1-q)^i\sum_{x=0}^i(\frac{q}{1-q})^x*C_i^x)
根据二项式定理可得：
=∑ooi=0p2(1−p)i((1−q)i∗(q1−q+1)i) =\sum_{i=0}^{oo}p^2(1-p)^i((1-q)^i*(\frac{q}{1-q}+1)^i)
=p2∑ooi=0(1−p)i =p^2\sum_{i=0}^{oo}(1-p)^i
假设 S=∑ooi=0(1−p)i S=\sum_{i=0}^{oo}(1-p)^i
那么 (1−p)S=∑ooi=1(1−p)i (1-p)S=\sum_{i=1}^{oo}(1-p)^i
上式减下式可得：
S=1p S=\frac{1}{p}
所以答案就是p。

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