树状数组思路以及性能分析

特点

代码短、常数很小

应用及时间复杂度

区间查询：求前缀和
单点修改：给某个位置上的数加上一个数（同时能以非常小的代价维护前缀和）

时间复杂度：O(logn)O(logn)O(logn)

与一般前缀和算法的对比

算法	修改某个点	查询前缀和	平均时间复杂度（假定两种操作各占50%50\%50%）
一般前缀和	O(n)O(n)O(n)	O(1)O(1)O(1)	O(n)O(n)O(n)
树状数组	O(logn)O(logn)O(logn)	O(logn)O(logn)O(logn)	O(logn)O(logn)O(logn)

可以看出在修改和查询操作占比差不多时，树状数组的效率更高

那么什么时候用树状数组，什么时候用一般前缀和算法呢？
这就要明白这两个算法的本质区别：
一般前缀和算法是离线算法，它不支持动态的改变单个元素的值，或者说改变单个元素值后，重新维护前缀和所花费的代价很大。
树状数组是在线算法，支持动态改变单个元素的值，以很小的代价动态维护前缀和。
所以当仅仅需要用到前缀和，不涉及动态的改变单个元素的值时，首选一般前缀和算法，否则就用树状数组。

树状数组原理

树状数组图例（下标从111开始）

假设原序列为aaa，树状数组序列为ccc,那么是怎么由原序列得到树状数组序列的呢？(可以把ccc理解为aaa的前缀和序列，只是前缀和关系不像一般前缀和那样简单、线性)

首先，将一维的树状数组序列ccc看成多层的序列，c[i]c[i]c[i]属于第几层，取决于iii的二进制表示中最后一个111后面有几个000，有几个000就在第几层，显而易见,当iii为奇数时，c[i]c[i]c[i]是在第000层的
因为lowbit(x)=2klowbit(x)=2^{k}lowbit(x)=2k,kkk表示x的二进制表示后面有多少个0
（lowbit(n)lowbit(n)lowbit(n)求得n的二进制表示中最后一个1以及往后的0）
可以得到关系：
c[x]=a(x−lowbit(x),x]c[x]=a(x-lowbit(x),x]c[x]=a(x−lowbit(x),x]
此关系描述了序列ccc中每个元素是哪一段序列aaa中元素的和
如何通过树状数组求前缀和？
由上面公式知道，想要求序列aaa中111到xxx的和，则应该是：

∑i=1xai=c[x]+c[x−lowbit(x)]+......\sum_{i=1}^{x}a_i=c[x]+c[x-lowbit(x)]+......∑i=1xai=c[x]+c[x−lowbit(x)]+......
因而可得代码：

int res=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(x)) res+=c[i];
return res;

如何通过树状数组进行单点修改？
这里我们给出一个结论：一个结点a[i]a[i]a[i]或c[i]c[i]c[i]的父结点为c[i+lowbit(i)]c[i+lowbit(i)]c[i+lowbit(i)]
所以当我们改变a[i]a[i]a[i]的值时，依次递归向上更新父结点的值即可。
代码：

a[x]+=v;
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=v;

我们发现这里是给某个数加上一个数vvv，而不是把某个数变成vvv，如果想实现这样的效果，该怎么做呢？
我们可以把加的数vvv灵活的调整为v−xv-xv−x（假设原来的数为xxx），加上v−xv-xv−x之后原来的数xxx就变成vvv了，从而实现了让一个数变成一个给定的数的效果。
获得原来的数的方式:

树状数组前缀和相减：c[x]−c[x−1]c[x]-c[x-1]c[x]−c[x−1]
开一个数组存原数组

树状数组只能给一个数加上一个数，而不能把一个数变成一个数，要实现这样的操作，作上面的变换即可。

初始化树状数组

可以假设原序列aaa为全0，依次通过“单点修改”操作把每个数加进去，最后就可以形成树状数组了。

例题：AcWing 1264. 动态求连续区间和

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],c[N];
int n,m;
int k,x,y;
int lowbit(int x)
{return x&(-x);
}
void add(int x,int v)
{for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=v;
}
int query(int x)
{int res=0;for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) res+=c[i];return res;
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);for(int i=1;i<=n;i++) add(i,a[i]);   //初始化while(m--){scanf("%d%d%d",&k,&x,&y);if(k==0) printf("%d\n",query(y)-query(x-1));   //前缀和思想else add(x,y); }return 0;
}