离散对数(例题+详解+代码模板)

题意：

给定x,n,m,求x^y=n(mod m)的解(其中m是素数)

求解一个最小的x满足给定的方程B^x == N (mod P)

使用baby_step_giant_step算法。也就是先小步后大步算法。

1、令x=i*m+j (m=ceil(sqrt(p)))，

那么原式化为 B^(i*m)*B^j==N(MOD P)

B^j==N*B^(-i*m)(MOD P)---------->B^j==N*B^m^(-i)(MOD P)

2、先预处理B^0,B^1,B^2……B^(m-1),存入HASH表,我使用结构体排序然后二分查找，这一步就是baby_step,每次移动1

3、然后快速幂求出B^-m,枚举i，如果存在N*B^(-i*m)存在于HASH表中，说明存在解x=i*m+j，这一步为giant_step,每次移动m

注意以上解法是最基本的，只能对于gcd(B,P)==1，算法的时间复杂度是O(sqrt(P)*log(sqrt(P)))

模板:此模板m不一定非为质数

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;ll b,n,p;
/***************************************/下面就是BSGS的函数集，包括所需变量
const int N=100009;
const int mod=76543;
ll hs[N],id[N],head[N],next[N],tot;
void insert(ll x,ll y)
{int k=x%mod;hs[++tot]=x;id[tot]=y;next[tot]=head[k];head[k]=tot;
}
ll find(ll x)
{int k=x%mod;for (int i=head[k];i;i=next[i])if (hs[i]==x) return id[i];return -1;
}
ll BSGS(ll a,ll b,ll n)
{if (b==1) return 0;memset(head,0,sizeof(head));tot=0;ll j,m=sqrt(n*1.0),x=1,p=1;for (int i=0;i<m;i++,p=p*a%n) insert(p*b%n,i);for (ll i=m;i<=n;i+=m)if ((j=find(x=x*p%n))!=-1) return i-j;return -1;
}
/**************************************/
int main()
{while(scanf("%lld%lld%lld",&p,&b,&n)!=EOF)//poj提交一定要有“！=EOF”      ！！！！！！！！！{ll ans=BSGS(b,n,p);if (ans==-1) printf("no solution\n");else printf("%lld\n",ans);} return 0;
}

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