题目

Luogu
题目大意：
kkk 种珍珠,每种珍珠都要用上,问能做出长度[1,2,…,N]的首饰的方案数,答案模123456789112345678911234567891
T<=10，1<=N<=1000000000,0<=K<=30T <=10， 1<= N<= 1000000000, 0<= K<= 30T<=10，1<=N<=1000000000,0<=K<=30

思路

我们定义:f[i][j]:前i个位置用j种珍珠的方案数f[i][j]:前i个位置用j种珍珠的方案数f[i][j]:前i个位置用j种珍珠的方案数
于是有转移方程式：
f[i][j]=f[i−1][j]∗j+f[i−1][j−1]∗(k−j)f[i][j]=f[i-1][j]*j+f[i-1][j-1]*(k-j)f[i][j]=f[i−1][j]∗j+f[i−1][j−1]∗(k−j)
其中f[0][0]=1f[0][0]=1f[0][0]=1
那么 Ans=∑i=1nf[i][k]Ans=\sum_{i=1}^{n}f[i][k]Ans=∑i=1nf[i][k]
发现这样每次 iii 只会+1,并且转移时系数和 iii 没太大关系，于是可以考虑矩阵加速
我们记 ansi=∑j=1if[j][k]ans_i=\sum_{j=1}^{i}f[j][k]ansi=∑j=1if[j][k]
那么可以得到转换矩阵：
(f[i−1][0]f[i−1][1]⋯f[i−1][k]ansi−2)∗(0k0⋯00001k−1⋯000002⋯000⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮000⋯k−110000⋯0k1000⋯001)=(f[i][0]f[i][1]⋯f[i][k]ansi−1)\left( \begin{matrix} f[i-1][0]&f[i-1][1]&\cdots&f[i-1][k]&ans_{i-2} \end{matrix} \right) * \left( \begin{matrix} 0&k&0&\cdots&0&0&0\\ 0&1&k-1&\cdots&0&0&0\\ 0&0&2&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&k-1&1&0\\ 0&0&0&\cdots&0&k&1\\ 0&0&0&\cdots&0&0&1\\ \end{matrix} \right) \quad= \left( \begin{matrix} f[i][0]&f[i][1]&\cdots&f[i][k]&ans_{i-1} \end{matrix} \right) (f[i−1][0]f[i−1][1]⋯f[i−1][k]ansi−2)∗⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛000⋮000k10⋮0000k−12⋮000⋯⋯⋯⋱⋯⋯⋯000⋮k−100000⋮1k0000⋮011⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞=(f[i][0]f[i][1]⋯f[i][k]ansi−1)
那么记转换矩阵为 AAA ,那么 An+1A^{n+1}An+1 的右上角即为答案
时间复杂度: O(k3logn)O(k^3log_n)O(k3logn)

代码

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<vector>
#include<climits>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
LL read(){     LL f=1,x=0;char s=getchar();        while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}       while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}     return x*f;
}
#define MAXN 32
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Mod 1234567891
struct Matrix{int r,c;LL m[MAXN+5][MAXN+5];Matrix(){}Matrix(int R,int C){r=R,c=C,memset(m,0,sizeof(m));}Matrix operator * (Matrix a){Matrix b(r,a.c);for(int i=1;i<=r;i++)for(int j=1;j<=a.c;j++)for(int k=1;k<=c;k++)b.m[i][j]=(b.m[i][j]+m[i][k]*a.m[k][j]%Mod)%Mod;return b;}void print(){for(int i=1;i<=r;i++)for(int j=1;j<=c;j++)printf("%lld",m[i][j]),putchar(j==c?'\n':' ');return ;}
};
Matrix Pow(Matrix x,int y){Matrix ret(x.r,x.c);for(int i=1;i<=x.r;i++)ret.m[i][i]=1;while(y){if(y&1) ret=ret*x;x=x*x;y>>=1;}return ret;
}
Matrix A,B;
int main(){int T=read();while(T--){int n=read(),k=read();A=B=Matrix();A.r=A.c=k+2;for(int i=2;i<=k+1;i++)A.m[i][i]=i-1,A.m[i-1][i]=k-i+2;A.m[k+1][k+2]=1,A.m[k+2][k+2]=1;A=Pow(A,n+1);//ans[-1]...ans[n]B.r=1,B.c=k+2;B.m[1][1]=1;B=B*A;printf("%lld\n",B.m[1][k+2]);}return 0;
}

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