贝塞尔曲线

公式

P(t)=∑i=0n−1PiBi,n(t)(1)\mathbf{P}(t) = \sum_{i=0}^{n-1}\mathbf{P}_{i}B_{i,n}(t) \tag{1} P(t)=i=0∑n−1PiBi,n(t)(1)
其中:
Bi,n(t)=Cniti(1−t)n−i(2)B_{i,n}(t) = C_{n}^{i}t^{i}(1-t)^{n-i} \tag{2} Bi,n(t)=Cniti(1−t)n−i(2)

B-Spline曲线

产生的背景: 贝塞尔曲线两大缺点1.阶次随着控制点数增加而线性增加，2.改变单个控制点会影响整个曲线

公式

P(t)=∑i=0n−1PiBi,d(t)(3)\mathbf{P}(t) = \sum_{i=0}^{n-1}\mathbf{P}_{i}B_{i,d}(t) \tag{3} P(t)=i=0∑n−1PiBi,d(t)(3)
其中:
Bi,d(t)=u−uiui+d−1−uiBi,d−1(t)+ui+d−uui+d−ui+1Bi+1,d−1(t)(4)B_{i,d}(t) = \frac{u-u_{i}}{u_{i+d-1}-u_{i}}B_{i,d-1}(t) + \frac{u_{i+d}-u}{u_{i+d}-u_{i+1}}B_{i+1,d-1}(t) \tag{4} Bi,d(t)=ui+d−1−uiu−uiBi,d−1(t)+ui+d−ui+1ui+d−uBi+1,d−1(t)(4)
式(4)中的 Bi,d(t)B_{i,d}(t)Bi,d(t) 的初值由下式(5)计算:
Bi,0(t)={1ti⩽t⩽ti+10other(5)B_{i,0}(t) = \left\{\begin{matrix} 1 && t_{i} \leqslant t \leqslant t_{i+1}\\ 0 && other \end{matrix}\right. \tag{5} Bi,0(t)={10ti⩽t⩽ti+1other(5)
上式(5)中的 [ti,ti+1][t_{i},t_{i+1}][ti,ti+1] 为相邻节点区间，根据该区间是否是相同的可将B样条曲线分为均匀样条和非均匀样条。

性质

说明: 下面图像中 NNN 指代上面公式中的 BBB，uuu 指代上面公式中的 ttt ，假设阶次 d=3d=3d=3 ，由公式(4)和(5)的递推关系可得下图

从左图中可以看出 N1,3N_{1,3}N1,3在节点区间[u1,u5)[u1, u5)[u1,u5)中非零，基函数 N1,3N_{1,3}N1,3最后是要与控制点P1\mathbf{P}_{1}P1相乘，因此可知控制点只在区间[u1,u5)[u1, u5)[u1,u5)内有效，于是可获得性质1: 基函数Ni,pN_{i,p}Ni,p只在节点区间[ui,ui+p+1)[u_{i},u_{i+p+1})[ui,ui+p+1)不为0，通俗解释就是控制点Pi\mathbf{P}_{i}Pi只在节点区间[ui,ui+d+1)[u_{i},u_{i+d+1})[ui,ui+d+1)内被用上。
从右图可以看出在节点区间[u3,u4)[u_{3},u_{4})[u3,u4)上有N0,3,N1,3,N2,3,N3,3N_{0,3},N_{1,3},N_{2,3},N_{3,3}N0,3,N1,3,N2,3,N3,3 四个基函数非零，于是可获得性质2: 在区间[ui,ui+1][u_{i},u_{i+1}][ui,ui+1]上最多有(d+1)(d+1)(d+1)个ddd次基函数非零，通俗解释就是在区间[ui,ui+1][u_{i},u_{i+1}][ui,ui+1]上只有Pi−d,......Pi\mathbf{P}_{i-d},......\mathbf{P}_{i}Pi−d,......Pi这些控制点被用上。

优点:

1.可指定阶次d
2.改变单个控制点只影响局部曲线段

参考

上面内容只是做了个简单的笔记，详细内容可参考下面的链接:
详解样条曲线（上）（包含贝塞尔曲线）
深入理解B样条曲线
贝塞尔曲线
在B-spline中，如何理解knot和breakpoint？彼此之间联系和区别是什么？
Toeplitz Matrix 表达 B 样条的 basis functions

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贝塞尔曲线和B样条曲线

贝塞尔曲线

公式

B-Spline曲线

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性质

优点:

参考

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