(1)初值问题(给某一点的函数值或者微分值)

1.初值问题(给某一点的函数值或者微分值)

问题类型：
dydx=f(x,y)y(x0)=y0\frac{dy}{dx}=f(x,y)\\ ~~\\ y(x_0)=y_0dxdy=f(x,y) y(x0)=y0
注意初值的个数不能少于阶数。
求解方法：
- 欧拉法
- 龙格库塔法
- 预测校正法

(2)边值问题(给定在一个区域的边界上的函数值或微分值)

问题类型：
d2ydx2=f(x,y,dydx)y(a)=α,y(b)=β\frac{d^2y}{dx^2}=f(x,y,\frac{dy}{dx})\\ ~~\\ y(a)=\alpha,y(b)=\betadx2d2y=f(x,y,dxdy) y(a)=α,y(b)=β

1.试射法

先猜初值，再使用迭代法寻找正确的初值。
一个例子：

d2ydx2=yy(0)=0,y(1)=1\frac{d^2y}{dx^2}=y\\ ~~\\ y(0)=0,y(1)=1dx2d2y=y y(0)=0,y(1)=1

拆分: dydx=y1dy1dx=y\frac{dy}{dx}=y_1\\ ~~\\ \frac{dy_1}{dx}=ydxdy=y1 dxdy1=y
注意这里仅有yyy的初值，因此这里首先就要求解出y1y_1y1的初始，然后通过初值问题的解法就可以求解。
猜 y1(0)=0→y(1)=0y_1(0)=0\rightarrow y(1)=0y1(0)=0→y(1)=0 不符合题设，猜y1(0)=0→y(1)=1.122532y_1(0)=0\rightarrow y(1)=1.122532y1(0)=0→y(1)=1.122532 不符合题设，最终可以求出当 y1(0)=0.890843y_1(0)=0.890843y1(0)=0.890843 时 y(1)=1y(1)=1y(1)=1。

2.有限差分法

核心：根据泰勒公式的思想进行直接的差分公式的替换d2ydx2=yi+1−2yi+yi−1h2dydx=yi+1−yi−12h\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}\\ ~~\\ \frac{dy}{dx}=\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}dx2d2y=h2yi+1−2yi+yi−1 dxdy=2hyi+1−yi−1
线性常微分方程

d2ydx2+P(x)dydx+Q(x)y=R(x)y(a)=α,y(b)=β\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=R(x)\\ ~~\\ y(a)=\alpha,y(b)=\betadx2d2y+P(x)dxdy+Q(x)y=R(x) y(a)=α,y(b)=β
在xix_ixi点处代入差分公式yi+1−2yi+yi−1h2+P(xi)yi+1−yi−12h+Q(xi)yi=R(xi)\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}+P(x_i)\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}+Q(x_i)y_i=R(x_i)h2yi+1−2yi+yi−1+P(xi)2hyi+1−yi−1+Q(xi)yi=R(xi)
整理可得(1+h2Pi)yi+1+(h2Qi−2)yi+(1−h2Pi)yi−1=h2Ri(1+\frac{h}{2}P_i)y_{i+1}+(h^2Q_i-2)y_i+(1-\frac{h}{2}P_i)y_{i-1}=h^2R_i(1+2hPi)yi+1+(h2Qi−2)yi+(1−2hPi)yi−1=h2Ri
最后代入所有的点，得到一个线性方程组，然后通过线性方程组的求解可得。
注意y(a)=α,y(b)=βy(a)=\alpha,y(b)=\betay(a)=α,y(b)=β也是这个线性方程组方程的一部分，如果给出的是dydx∣x=a=α,dydx∣x=b=β\frac{dy}{dx}|_{x=a}=\alpha,\frac{dy}{dx}|_{x=b}=\betadxdy∣x=a=α,dxdy∣x=b=β就要通过对边界量求差分，将边界量引入到差分方程中，比如已知x4x_4x4和x0x_0x0处导数值，就要引入x−1x_{-1}x−1和x5x_5x5。

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微分方程求解一（常微分方程求解）

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(1)初值问题(给某一点的函数值或者微分值)

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(2)边值问题(给定在一个区域的边界上的函数值或微分值)

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