数据包络分析——二阶段网络带feedback的文献分析

文献介绍
模型示意图
系统的加性效率
非合作模式
- 阶段一
- 阶段二
- - σ\sigmaσ的最大值求解
- 遍历σ\sigmaσ最大值，找到阶段二的最大值
文献例子

文献介绍

最近看了一篇文献，觉得很有意思，是由吴杰（Wu Jie）老师在内的五位教授一起完成的。

文献名是Two−stagenetworkprocesswithsharedresourcesandresourcesrevoveredfromundesirableoutputsTwo-stage\;network\;process\;with\;shared\;resources\;and\;resources\;revovered\;from\;undesirable\;outputsTwo−stagenetworkprocesswithsharedresourcesandresourcesrevoveredfromundesirableoutputs，于2016年发表于一区期刊EuropeanJournalofOperationalResearchEuropean\;Journal\;of\;Operational\;ResearchEuropeanJournalofOperationalResearch。

这篇文章偏重于模型构造。文章基本上也都是模型堆积，甚得我心哈哈，没有罗里吧嗦的分析。

模型示意图

这篇文献涉及的要素比较多，结合了两个相对创新的点：不同阶段的投入要素分配，以及第二阶段产出作为feedback回到第一阶段。

对于第一阶段来说，投入是∂X\partial{X}∂X、HHH、Z1Z^1Z1、Z2Z^2Z2，非期望产出FFF，期望产出YYY，并且期望产出直接离开系统。
对于第二阶段来说，投入是(1−∂)X(1-\partial{})X(1−∂)X以及额外投入RRR，还有第一阶段过来的FFF，产出是Z2Z^2Z2，并且作为feedback回到第一阶段。

原文中的表述：

这里的∂ij\partial_{ij}∂ij是投入变量的分配系数，首先必然是在0≤∂≤10\le{\partial}\le10≤∂≤1之间的，具体的数字是可以由决策者在这个范围内自己制定的。在编程中要注意，这个∂ij\partial_{ij}∂ij对于每个DMUDMUDMU的投入XXX的每一列都是可以不一样的值。

系统的加性效率

首先，构建最基本的加性模型：

这里需要注意的是一些系数（不打字了）：

第二点就是FFF是第一阶段的非期望产出，并不是越多越好，因此它的符号需要注意，作者直接变成了减号。
第三点，公式中的LLL和UUU对应的是投入XXX的分配比例。

接下来，为了方便后续的效率分解（这是经常做的），给w1w_1w1和w2w_2w2进行替换：
w1=∑i=1mvi∂i0Xi0+∑k=1KπkZk01+∑k=1KπkZk02+∑g=1GwgHg0Aw_1=\frac{\sum_{i=1}^{m}v_i\partial_{i0}X_{i0}+\sum_{k=1}^K\pi_kZ_{k0}^1+\sum_{k=1}^K\pi_kZ_{k0}^2+\sum_{g=1}^Gw_gH_{g0}}{A}w1=A∑i=1mvi∂i0Xi0+∑k=1KπkZk01+∑k=1KπkZk02+∑g=1GwgHg0
w2=∑i=1mvi(1−∂i0)Xi0+∑p=1PηpRp0+∑d=1DφdFd0Aw_2=\frac{\sum_{i=1}^mv_i(1-\partial_{i0})X_{i0}+\sum_{p=1}^P\eta_pR_{p0}+\sum_{d=1}^D\varphi_dF_{d0}}{A}w2=A∑i=1mvi(1−∂i0)Xi0+∑p=1PηpRp0+∑d=1DφdFd0
A=∑i=1mviXi0+∑k=1KπkZk01+∑k=1KπkZk02+∑g=1GwgHg0+∑p=1PηpRp0+∑d=1DφdFd0A=\sum_{i=1}^mv_iX_{i0}+\sum_{k=1}^K\pi_kZ_{k0}^1+\sum_{k=1}^K\pi_kZ_{k0}^2+\sum_{g=1}^Gw_gH_{g0}+\sum_{p=1}^P\eta_pR_{p0}+\sum_{d=1}^D\varphi_dF_{d0}A=i=1∑mviXi0+k=1∑KπkZk01+k=1∑KπkZk02+g=1∑GwgHg0+p=1∑PηpRp0+d=1∑DφdFd0

替换之后，模型公式变成了model2model2model2：

最后通过CC线性变化，model2model2model2变成model2model2model2：

这一部分的结尾，作者给出了model3model3model3的对偶形式，但是个人觉得与主题没啥关系，这里不贴出来了。

非合作模式

文献中详细展示了两种非合作模型，以第一阶段为主导的、和以第二阶段为主导的。都差不太多。这里说明以第一阶段为主导的情况。（若对这篇文献感兴趣，下面的模型公式如何变化的，建议在纸上推一下，会清楚很多）

这一部分与上面部分，有个地方进行了变化。在计算整体效率时候，是∂X\partial{X}∂X进入了第一阶段，(1−∂)X(1-\partial)X(1−∂)X进入了第二阶段。但是在非合作这块内容，作者为了书写方便（我认为），进行了调换，(1−∂)X(1-\partial)X(1−∂)X进入了第一阶段，∂X\partial{X}∂X进入了第二阶段。

阶段一

首先，将最基础的阶段1模型列出model5model5model5：

同样的，通过CC变换，将其变成线性模型公式model6model6model6：

这里有一个要注意的点就是：ξij=vi′∂ij\xi_{ij}=v_{i}^{'}\partial_{ij}ξij=vi′∂ij。

阶段二

在已知阶段一的效率后，继而进行第二阶段的效率求解。
先把公式列出model7model7model7：

这里我个人不理解的点：为什么不直接CC转换，一定要迂回的通过遍历？如果有中科大的管院朋友，恰好看到了这里，同时你也感兴趣的话，帮忙问问？哈哈哈哈哈

这里，作者进行的线性变化比一般的稍微复杂点，是通过两个CC变换，同时进行：

并且

通过这层变换，model7model7model7变成model8model8model8，如果这个时候令σηp′=ηp′′\sigma\eta_p^{'}=\eta_{p}^{''}σηp′=ηp′′，并且在固定σ\sigmaσ的时候，模型就会变成线性，为model9model9model9：

σ\sigmaσ的最大值求解

σ\sigmaσ的最大值求解并不难，通过model10model10model10:

同样的，还是通过CC变换，变成model11model11model11:

遍历σ\sigmaσ最大值，找到阶段二的最大值

在得到σ\sigmaσ最大值后，选定步长，固定σ\sigmaσ的值后，就可以得到线性模型model9model9model9

文献例子

数据：

文章中设定的步长step=0.001step=0.001step=0.001，得到的结果如下：

其中σ\sigmaσ最大值（也就是第一列）这个值，第10个DMU的各项系数受到最小值下界的影响，进行倒数后会变得超级大，这里我自己取得下界值是1e−131e-131e−13，作者取得多少我不知道，但是量级差不多。
针对第二列值，大家到时候在编程时候要注意，如果不设置小数点位数限制的话，一般来说是不会出现区间的，一般就是一个值。
对于最后一列的最后一个空，由于作者设置的步长是0.001，σ\sigmaσ最大值过于大了，我的电脑已经5年了，遭不住。

我就写到这儿了。其实文章很丰富，还将这个模型跟动态结合。感兴趣的请细扣。欢迎讨论。

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