第一章 绪论

信号与系统

信号的概念

• 信号是消息的表现形式,消息则是信号的具体内容.
• 带有信息的随时间变化的物理量.

系统的概念

• 系统可看做是对洗脑进行存储、转换、传输、和处理的物理装置.
• 若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体.

信号的描述与分类

信号的描述

• 描述信号的基本方法是建立信号的数学模型,即写出信号的数学表达式.一般地,描述信号的数学表达式都以时间为变量,即数学表达式都是时间的函数,绘出函数的图像称为信号的波形.
• 信号的描述可分为两种:函数表达式和波形.

信号的分类

• 确定信号与随机信号
• 连续时间信号离散时间信号
• 周期信号与非周期信号
• 能量信号与功率信号
• 实信号与复信号
• 一维信号与多维信号

系统的描述与分类

系统的分类

• 连续系统:系统的输入和输出信号均为连续信号
• 离散系统:系统的输入和输出信号均为离散信号
• 混合系统:系统的输入信号是连续信号,输出信号是离散信号.或者反之.
• 连续时间系统与离散时间系统
• 即时系统与动态系统
• 集总参数系统与分布参数系统
• 线性系统与非线性系统
• 时变系统与时不变系统

连续系统的描述

连续系统:系统的输入和输出信号均为连续信号

离散系统的描述

离散系统:系统的输入和输出信号均为离散信号

系统的性质

线性、时不变性、因果性、稳定性、即时性

线性

满足分解性、齐次性、可加性

• 分解性:全响应y(t)可分解为零输入响应y_zi(t)和零状态响应y_zs(t).

y(t) = y_zi(t) + y_zs(t)

• 齐次性:激励f₁(t)增大α倍时,其响应也增大α倍.

f(t) —> y(t)
αf(t) —> αy(t)

• 可加性:系统对于激励f₁(t)与f₂(t)之和的响应等于各个激励单独作用所引起响应之和

f₁(t) —> y₁(t)
f₂(t) —> y₂(t)
f₁(t) + f₂(t) = y(t) = y₁(t) + y₂(t)

时不变性

• 激励为f(t)时产生的零状态响应为y_zs(t),若激励延迟一定时间t₀接入,即f(t-t₀)时,其响应也延迟t₀,为y_zs(t-t₀).
• 反之为时变.

因果性

• 系统在任意时刻的输出值仅取决于现在或过去的输入,而与将来的输入无关.

稳定性

• 输入有界(幅值为有限制),零状态响应也有界.
• |f(t)|<∞,其零状态|y_zs(t)|<∞,则称该系统是稳定的.

即时性

• 即时系统:系统在任意时刻的响应,仅取决于该时刻的激励,而与它过去的工作状态无关,则称为即时系统(无记忆系统).
• 动态系统:系统在任意时刻的响应不仅取决于该时刻的激励,而且与它过去的工作状态有关,则称为动态系统(记忆系统).

LTI系统分析方法概述

• 系统分析的主要任务是通过求解给定系统在已知激励下的响应,分析系统具有的特性和功能.
• 系统分析就建立系统的数学模型,然后用数学方法进行求解,对所得结果进行物理解释,并赋予物理含义.
• 系统的描述方法
  – 微分(差分)方程
  – 输入-输出(外部法)
  – 状态变量法(内部法)
• 系统的分析方法
  – 时域法
  – 变换域法
  — 频域分析
  — 复(s)频域分析
  — z域分析

第二章 连续时间信号与系统的时域分析

常用信号及信号的基本运算

常用信号(需数熟练掌握)

门信号
正三角脉冲
冲激信号
直流信号
阶跃信号
单边指数信号
双边指数信号
余弦信号
正弦型号
有始余弦信号
有始正弦信号

信号的基本运算

加法
减法
乘法

阶跃信号和冲激信号

阶跃信号

U(t)
t > 0 时为1
t < 0 时为0

冲激信号

δ(t)
t = 0 为∞,其余为0

零输入响应

系统输入为零,仅系统本身产生的响应

(零状态响应)阶跃响应和冲激响应

系统状态为零,仅输入激励产生的响应

阶跃响应和冲激响应

(冲激响应)
当激励信号为单位冲激函数δ(t)时,系统产生的零状态响应称为单位冲激响应
(阶跃响应)
当激励信号为单位阶跃函数u(t)时,系统产生的零状态响应称为单位阶跃响应

冲激响应的求解

• 经典解法

1. 求微分方程的齐次解 y(t)≥0
2. h(t)=y(t)u(t)
3. 分别求h’(t),h’’(t),…h⁽ⁿ⁾(t).求导过程利用f(t)δ(t)=f(0)δ(t)的性质化简
4. 将h’(t),h’’(t),…h⁽ⁿ⁾(t)等带入微分方程中,并令输入f(x)=δ(t)
5. 令式子两端δ(t),δ’(t),…δ⁽ⁿ⁾(t)的系数相等,得到一组方程组
6. 求解该方程组得到微分方程齐次解中的待定系数
7. 将待定系数带入h(t)中即求得冲激响应h(t)

• 已知阶跃响应求冲激响应
  对阶跃响应求导即可
• 已知系统函数H(S),H(Z)
  对系统函数进行逆变换即可
• 已知G(S),G(Z)
  通过H(S)=G(S)/L[U(t)]求出系统函数H(S),然后再逆变换即可
  通过H(Z)=G(Z)/L[U(t)]求出系统函数H(Z),然后再逆变换即可

卷积积分

信号时域分解与卷积

将一个信号分解成一个个的单位冲激信号
将每个单位冲激信号依次进入系统等于各个单位冲激信号的响应
将单位冲激响应全部叠加即零状态响应

卷积的图解

反折
从无穷远的地方到与信号重叠的前一刻均为0
从与信号重叠部分开始求面积,若为分段信号则要再分区间讨论
当反折信号开始不再重叠的时候,再次分段计算求面积

卷积积分的性质

结合律
分配律
交换律
微分
积分
微积分
延迟

卷积代数

奇异函数的卷积特性

卷积的微积分性质

卷积的时移特性

连续系统的时域分析

第三章 连续系统的频域分析

周期信号的傅里叶级数

非周期信号的频谱——傅里叶变换

傅里叶变换的性质

连续时间系统的频域分析

第四章 连续系统的s域分析

拉普拉斯变换

从傅里叶变换到拉普拉斯变换

收敛域

(单边)拉普拉斯变换

单边拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换逆变换

连续时间系统的复频域分析

微分方程的变换解

系统函数

系统特性与系统函数的关系

第五章 离散系统的时域分析

离散信号与离散系统

离散时间信号的表示

典型离散信号

离散信号的基本运算

离散系统响应的求解方法

离散系统的零输入响应

单位样值响应和阶跃响应

离散系统的零状态响应

卷积和

卷积的性质

卷积的计算

第六章 离散系统z域分析

z 变换

从拉普拉斯变换到z变换

收敛域

z 变换的性质

逆z变换

离散系统的 z 域分析

差分方程的变换解

系统函数

系统因果性和稳定性

解题方法及注意事项

线性判断方法

1.设f₁(t)→y₁(t),f₂(t)→y₂(t)
2.令f₃(t)=af₁(t)+bf₂(t)
3.根据f₃(t)求出y₃(t)
4.判断y₃(t)是否等于ay₁(t)+by₂(t),若相等为线性,反之为非线性.

常见类型

y(t)	性质
[f(t)]n	非线性
(at-t0)f(t)	线性
sin[f(t)]	非线性
∫t-∞f(x)dx	线性
af’(t)	线性
f(at)	线性

因果性的判定方法

分别令t=0和t=1,则有y(0)和y(1),此时若式中只有f(0)或f(1)或f(x)x<0或x<1,
则表明响应取决于当前或之前的激励,故因果.
若f(x)中的x>0或x>1则表明响应取决于未来的激励,故非因果.

时变与时不变判断

1.将式子写成左边仅保留y(t)的形式(即使有y⁽ⁿ⁾(t)也移到右边).
2.将f(t)进行延时成f(t-t₀),此时对应的输出为y_d(t),包括y⁽ⁿ⁾(t).
3.将原式y(t)进行延迟成y(t-t₀),此时右端所有的t都换成(t-t₀).
4.比较y_d(t)和y(t-t₀),若相等则时不变,反之时变.

冲激响应的求解

• 经典解法

1. 求微分方程的齐次解 y(t)≥0
2. h(t)=y(t)u(t)
3. 分别求h’(t),h’’(t),…h⁽ⁿ⁾(t).求导过程利用f(t)δ(t)=f(0)δ(t)的性质化简
4. 将h’(t),h’’(t),…h⁽ⁿ⁾(t)等带入微分方程中,并令输入f(x)=δ(t)
5. 令式子两端δ(t),δ’(t),…δ⁽ⁿ⁾(t)的系数相等,得到一组方程组
6. 求解该方程组得到微分方程齐次解中的待定系数
7. 将待定系数带入h(t)中即求得冲激响应h(t)

• 已知阶跃响应求冲激响应
  对阶跃响应求导即可.
• 已知系统函数H(S),H(Z)
  对系统函数进行逆变换即可.
• 已知G(S),G(Z)
  通过H(S)=G(S)/L[U(t)]求出系统函数H(S),然后再逆变换即可.
  通过H(Z)=G(Z)/L[U(t)]求出系统函数H(Z),然后再逆变换即可.

卷积相关

• 当两个带有U(t)的信号进行卷积时,积分区域直接写成∫0t\int_0^t∫0t​,计算结果直接加上U(t).
• 当一个带U(t)和一个带U(t-t₀)的信号进行卷积时,积分区域直接写成∫0t−t0\int_0^{t-t_0}∫0t−t0​​,结果直接加上U(t-t₀).
• 两个带常系数的信号卷积,系数部分直接相乘后放到最外边,再进行卷积.
• 卷积的作用是求解零状态响应.

奇异信号卷积化简

δ(t)∗δ(t)=δ(t)\delta(t)*\delta(t)=\delta(t)δ(t)∗δ(t)=δ(t) δ(t)∗δ(t−n)=δ(t−n)\delta(t)*\delta(t-n)=\delta(t-n)δ(t)∗δ(t−n)=δ(t−n) δ(t)∗U(t)=U(t)\delta(t)*U(t)=U(t)δ(t)∗U(t)=U(t) δ(t)∗δ(t−1)∗δ(t−1)=δ(t−2)\delta(t)*\delta(t-1)*\delta(t-1)=\delta(t-2)δ(t)∗δ(t−1)∗δ(t−1)=δ(t−2) U(t)∗U(t)=tU(t)U(t)*U(t)=tU(t)U(t)∗U(t)=tU(t) δ(t−n)∗U(t)=U(t−n)\delta(t-n)*U(t)=U(t-n)δ(t−n)∗U(t)=U(t−n) U(t)∗[−δ(t)]=−[U(t)∗δ(t)]=−U(t)U(t)*[-\delta(t)]=-[U(t)*\delta(t)]=-U(t)U(t)∗[−δ(t)]=−[U(t)∗δ(t)]=−U(t)

傅里叶相关

• 傅里叶变换得频移性质是在时域乘以一个旋转因子而不是指数信号,而公式
  e−atU(t)⟷1jw+ae^{-at}U(t)\longleftrightarrow\frac{1}{jw+a}e−atU(t)⟷jw+a1​
  是指数信号的傅里叶变换,不是频移,若遇到e−atU(t−t0)e^{-at}U(t-t_0)e−atU(t−t0​)求傅里叶变换一般用定义计算.
• 对U(t)做傅里叶变换得频移、时移等不能直接在U(t)⟷πδ(w)+1jwU(t)\longleftrightarrow\pi\delta(w)+\frac{1}{jw}U(t)⟷πδ(w)+jw1​的基础上进行,因为U(t)=12+12sgn(t)U(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)U(t)=21​+21​sgn(t)而对U(t)进行时移、尺度变换等,时间是对sgn(t)做变换,若直接对
  πδ(t)+1jw\pi\delta(t)+\frac{1}{jw}πδ(t)+jw1​进行傅里叶变换必然出现问题.
  综上遇到对U(t)使用傅里叶变换的性质时,要么拆分成U(t)=12+12sgn(t)U(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)U(t)=21​+21​sgn(t)再做变换,要么直接对U(t)⟷πδ(w)+1jwU(t)\longleftrightarrow\pi\delta(w)+\frac{1}{jw}U(t)⟷πδ(w)+jw1​中的1jw\frac{1}{jw}jw1​做变换.

例:U(12t−1)U(\frac{1}{2}t-1)U(21​t−1)
错误计算:
1.U(t)⟷πδ(w)+1jwU(t)\longleftrightarrow\pi\delta(w)+\frac{1}{jw}U(t)⟷πδ(w)+jw1​
2.U(t−1)⟷πδ(w)e−j0+1jwe−jwU(t-1)\longleftrightarrow\pi\delta(w)e^{-j0}+\frac{1}{jw}e^{-jw}U(t−1)⟷πδ(w)e−j0+jw1​e−jw
3.U(12t−1)⟷2πδ(2w)e−j0+1jwe−2jwU(\frac{1}{2}t-1)\longleftrightarrow2\pi\delta(2w)e^{-j0}+\frac{1}{jw}e^{-2jw}U(21​t−1)⟷2πδ(2w)e−j0+jw1​e−2jw
正确计算:
1.U(t)=12+12sgn(t)⟷πδ(w)+1jwU(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)\longleftrightarrow\pi\delta(w)+\frac{1}{jw}U(t)=21​+21​sgn(t)⟷πδ(w)+jw1​
2.U(t−1)=12+12sgn(t−1)⟷πδ(w)+1jwe−jwU(t-1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t-1)\longleftrightarrow\pi\delta(w)+\frac{1}{jw}e^{-jw}U(t−1)=21​+21​sgn(t−1)⟷πδ(w)+jw1​e−jw
3.U(12t−1)=12+12sgn(12t−1)⟷πδ(w)+22jwe−2jwU(\frac{1}{2}t-1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(\frac{1}{2}t-1)\longleftrightarrow\pi\delta(w)+\frac{2}{2jw}e^{-2jw}U(21​t−1)=21​+21​sgn(21​t−1)⟷πδ(w)+2jw2​e−2jw

• 若对带j的时域信号进行傅里叶变换,必然用到对称性质F(jt)⟷2πf(−w)F(jt)\longleftrightarrow2\pi f(-w)F(jt)⟷2πf(−w)但若是指数信号带j则表示频移.
• 计算e±aU(∓t±t0)e^{\pm a} U(\mp t \pm t_0 )e±aU(∓t±t0​)时
  e±aU(∓t±t0)⟷1±a∓jwe±t0(±a∓jw)e^{\pm a} U(\mp t±t_0)\longleftrightarrow\frac{1}{\pm a\mp jw}e^{\pm t_0(\pm a\mp jw)}e±aU(∓t±t0​)⟷±a∓jw1​e±t0​(±a∓jw)

利用傅里叶变换的性质要注意:

• f(at−b)f(at-b)f(at−b):先进行时移再尺度
  1.F(jw)e−bjw1.F(jw)e^{-bjw}1.F(jw)e−bjw
  2.1∣a∣F(jwa)e−bajw2.\frac{1}{|a|}F(j\frac{w}{a})e^{-\frac{b}{a}jw}2.∣a∣1​F(jaw​)e−ab​jw
• f(−t+b)f(-t+b)f(−t+b):先进行时移再反折
  1.F(jw)ebjw1.F(jw)e^{bjw}1.F(jw)ebjw
  2.F(−jw)e−jw2.F(-jw)e^{-jw}2.F(−jw)e−jw
• f(a−bt)f(a-bt)f(a−bt):先进行时移再反折再尺度
  1.F(jw)ebjw1.F(jw)e^{bjw}1.F(jw)ebjw
  2.F(−jw)e−jw2.F(-jw)e^{-jw}2.F(−jw)e−jw
  3.1∣a∣F(jwa)e−bajw3.\frac{1}{|a|}F(j\frac{w}{a})e^{-\frac{b}{a}jw}3.∣a∣1​F(jaw​)e−ab​jw
• −tf(−t)-tf(-t)−tf(−t)不能看成g(t)=tf(t)→g(−t)=−tf(−t)⟷jF′(−jw)g(t)=tf(t)\rightarrow g(-t)=-tf(-t)\longleftrightarrow jF'(-jw)g(t)=tf(t)→g(−t)=−tf(−t)⟷jF′(−jw)
  应看成
  f(−t)⟷F(−jw)f(-t)\longleftrightarrow F(-jw)f(−t)⟷F(−jw)
  tf(−t)⟷jF′(−jw)tf(-t)\longleftrightarrow jF'(-jw)tf(−t)⟷jF′(−jw)
  −tf(−t)⟷−jF′(−jw)-tf(-t)\longleftrightarrow -jF'(-jw)−tf(−t)⟷−jF′(−jw)
• 对f(−t)⟷F(−jw)f(-t)\longleftrightarrow F(-jw)f(−t)⟷F(−jw)做时移时,乘e−jwte^{-jwt}e−jwt变成ejwte^{jwt}ejwt或ejwte^{jwt}ejwt变成e−jwte^{-jwt}e−jwt
• 利用时域相乘频域相卷积时,频域需乘一个12π\frac{1}{2\pi}2π1​
• 傅里叶变换若化简成f[a(t−b)]f[a(t-b)]f[a(t−b)]的形式再做变换时要注意时移对应的部分不需要做尺度即f[a(t−b)]=1∣a∣F(wa)e−bjwf[a(t-b)]=\frac{1}{|a|}F(\frac{w}{a})e^{-bjw}f[a(t−b)]=∣a∣1​F(aw​)e−bjw
• 在时域时域必须所有t进行改变例:tU(t)tU(t)tU(t)时移(t−1)U(t−1)(t-1)U(t-1)(t−1)U(t−1)

傅里叶逆变换

• 做傅里叶变换逆变换时注意是否反折

例:−1jw−a-\frac{1}{jw-a}−jw−a1​
−1jw−a=1−jw+a-\frac{1}{jw-a}=\frac{1}{-jw+a}−jw−a1​=−jw+a1​是经反折的,所以可以写成1jw−a\frac{1}{jw-a}jw−a1​然后求逆变换得eatU(t)e^{at}U(t)eatU(t)再反折得e−atU(−t)e^{-at}U(-t)e−atU(−t)

• 对于逆变换中常有
  F(jw)=w2=−(jw)2F(jw)=w^2=-(jw)^2F(jw)=w2=−(jw)2
  F(jw)=−2w2=j(2jw)′F(jw)=-\frac{2}{w^2}=j(\frac{2}{jw})'F(jw)=−w22​=j(jw2​)′
  F(jw)=1(jw+a)2=j(1jw+a)′F(jw)=\frac{1}{(jw+a)^2}=j(\frac{1}{jw+a})'F(jw)=(jw+a)21​=j(jw+a1​)′
  F(jw)=δ(w)⟷12πF(jw)=\delta(w)\longleftrightarrow \frac{1}{2\pi}F(jw)=δ(w)⟷2π1​
  F(jw)=[U(w)−U(w−w0)]=gw0(w−w02)F(jw)=[U(w)-U(w-w_0)]=g_{w_0}(w-\frac{w_0}{2})F(jw)=[U(w)−U(w−w0​)]=gw0​​(w−2w0​​)
  f(−w)=12πF(jt)f(-w)=\frac{1}{2\pi}F(jt)f(−w)=2π1​F(jt)
  f(w)=12πF(−jt)f(w)=\frac{1}{2\pi}F(-jt)f(w)=2π1​F(−jt)

门信号和三角信号

门信号

• g2(t)g_2(t)g2​(t)表示宽为2的门信号,若进行尺度变换g2(at)g_2(at)g2​(at)则可写成ga2(t)g_\frac{a}{2}(t)g2a​​(t)
• 门信号做傅里叶变换之前尽量化简到以中心频率为(w−w0)(w-w_0)(w−w0​)的点
  

  例g2(w−w0)+g2(w+w0)g_2(w-w_0)+g_2(w+w_0)g2​(w−w0​)+g2​(w+w0​) 因为存在频域,所以逆变换后会有旋转因子,不利于化简和计算故画出频域图像,
  该图像可以表示成一个门信号一个门信号,即g6(w)−g2(w)g_6(w)-g_2(w)g6​(w)−g2​(w),
  
  此时再做逆变换将会简单一些,大此时化简需要用三角函数的和差化积公式.

三角信号

τ△2τ(t)=gτ(t)∗gτ(t)τ△_{2τ}(t)= g_τ(t)*g_τ(t)τ△2τ​(t)=gτ​(t)∗gτ​(t)

12πg6(w)∗g6(w)\frac{1}{2\pi} g_6(w)*g_6(w)2π1​g6​(w)∗g6​(w)

希尔伯特变换

• 遇到与1πt\frac{1}{\pi t}πt1​卷积说明要利用希尔波特变换1πt⟷−jsgn(w)\frac{1}{\pi t}\longleftrightarrow-jsgn(w)πt1​⟷−jsgn(w)与信号F(jw)F(jw)F(jw)相乘,[利用了时域相卷频域相乘的性质]

时域-频域-S域-Z域

1. 在时域到频域、(S)(Z)域过程中,若时域中同时出现时移和频移(表现在是否有旋转因子)的情况,要先时移再频移.
2. 做逆变换时若同时出现时移和频移,则先频移再时移.
3. 在什么域就先做什么域的平移.

时域与频域之间的频谱关系

时域	频域
连续周期	离散非周期
连续非周期	连续非周期
离散周期	离散周期
离散非周期	连续周期

1. 周期信号都做傅里叶级数展开且频谱均离散
2. 非周期信号读作傅里叶变换,且频谱均连续
3. 时间连续的信号变换到频域为非周期信号
4. 时间离散的信号变换到频域为周期信号

计算问题

1. 使用长除法做部分分式展开要注意,分子最高次数大于分母最高次数,当余数最高次数小于分母最高次数时结束计算,此时结果为商+(余数/分母)的形式.

例:
s3+s2+1(s+1)(s+2)=s3+s2+1s2+3s+2\frac{s^3+s^2+1}{(s+1)(s+2)}=\frac{s^3+s^2+1}{s^2+3s+2}(s+1)(s+2)s3+s2+1​=s2+3s+2s3+s2+1​分子最高次大于分母最高次,利用长除法

(s−2)+4s+5s2+3s+2(s-2)+\frac{4s+5}{s^2+3s+2}(s−2)+s2+3s+24s+5​

1. 做部分分式展开式,当分子分母次数均为1时,可将分子凑成与分母形式一样的式子出现,再做加减拆分,知道分子无变量为止.

例:
1−2s+2s+2+4s+4s−3=1−s+s+2s+2+4(s−3)+4+12s−31-\frac{2s+2}{s+2}+\frac{4s+4}{s-3}=1-\frac{s+s+2}{s+2}+\frac{4(s-3)+4+12}{s-3}1−s+22s+2​+s−34s+4​=1−s+2s+s+2​+s−34(s−3)+4+12​
=1−(ss+2+1)+(4+16s−3)=−(s+2−2s+2)+4+16s−3=1-(\frac{s}{s+2}+1)+(4+\frac{16}{s-3})=-(\frac{s+2-2}{s+2})+4+\frac{16}{s-3}=1−(s+2s​+1)+(4+s−316​)=−(s+2s+2−2​)+4+s−316​
=3+2s+2+16s−3=3+\frac{2}{s+2}+\frac{16}{s-3}=3+s+22​+s−316​

1. 做逆变换之前查看分子分母是否能凑出可约分项约去.
2. 做逆变换时若同时出现时移和频移,则先频移再时移.
3. 做单边拉氏变换默认乘以U(t).门信号均用阶跃信号之差来表示.
4. 对于tU(t−n)tU(t-n)tU(t−n)均化为(t−n)U(t−n)−nU(t−n)(t-n)U(t-n)-nU(t-n)(t−n)U(t−n)−nU(t−n)的形式在做变换,其中n为常数.
5. 对于sintU(t−π)sint U(t-\pi)sintU(t−π)均化为sin(t−π)U(t−π)sin(t-\pi)U(t-\pi)sin(t−π)U(t−π)的形式再做变换.

频率响应的滤波特性

输入为f(t)=ejw0tf(t)=e^{jw_0t}f(t)=ejw0​t,则系统的输出为y(t)=ejw0tH(jw0)y(t)=e^{jw_0t}H(jw_0)y(t)=ejw0​tH(jw0​)
输入为f(t)=Acos(w0t+θ)f(t)=Acos(w_0t+\theta )f(t)=Acos(w0​t+θ)时,输出为y(t)=Acos(w0t+θ+φ)H(jw0)y(t)=Acos(w_0t+\theta+\varphi )H(jw_0)y(t)=Acos(w0​t+θ+φ)H(jw0​)

部分分式展开

F(z)和F(s)做部分分式展开的区别

1. F(s)满足真分式,即分子最高次小于分母最高次.
2. F(z)满足分子最高次小于或等于分母最高次.
3. F(s)满足条件即可直接展开.
4. F(z)必须要先化成F(z)z\frac{F(z)}{z}zF(z)​的形式才能展开,且展开后要将F(z)z\frac{F(z)}{z}zF(z)​还原成F(z),即左右同乘z.

展开技巧

1. 求z逆变换若不是zz+C\frac{z}{z+C}z+Cz​的形式,而是Cz\frac{C}{z}zC​或z+ABz\frac{z+A}{Bz}Bzz+A​的形式,优先化成ABz\frac{A}{Bz}BzA​的形式,再化成ABz−1+C\frac{A}{B}z^{-1}+CBA​z−1+C的形式,然后再做逆变换.利用δ(n)⟷1和δ(n−m)⟷z−m\delta(n)\longleftrightarrow 1和\delta(n-m)\longleftrightarrow z^{-m}δ(n)⟷1和δ(n−m)⟷z−m
2. 形如F(s)=已知二次方程(S−C)(二次方程)F(s)=\frac{已知二次方程}{(S-C)(二次方程)}F(s)=(S−C)(二次方程)已知二次方程​可分解为F(s)=AS−C+B1S+B2二次方程F(s)=\frac{A}{S-C}+\frac{B_1S+B_2}{二次方程}F(s)=S−CA​+二次方程B1​S+B2​​的形式.
   再利用A=(S−C)F(s)∣s=cA=(S-C)F(s)|_{s=c}A=(S−C)F(s)∣s=c​的方法解出待定系数A,则化为F(s)=已知AS−C+B1S+B2二次方程=已知二次方程(S−C)(二次方程)=F(s)原式F(s)=\frac{已知A}{S-C}+\frac{B_1S+B_2}{二次方程}=\frac{已知二次方程}{(S-C)(二次方程)}=F(s)原式F(s)=S−C已知A​+二次方程B1​S+B2​​=(S−C)(二次方程)已知二次方程​=F(s)原式通过比较S,S2S,S^2S,S2等系数解出B1,B2B_1,B_2B1​,B2​后再进行化简或分解.
3. 二次方程s2(s+1)\frac{二次方程}{s^2(s+1)}s2(s+1)二次方程​形式一般可化为AS+1+B21S2+B22S\frac{A}{S+1}+\frac{B_{21}}{S^2}+\frac{B_{22}}{S}S+1A​+S2B21​​+SB22​​的形式
   例: 14s(s2+1)=1/4s(s2+1)\frac{1}{4s(s^2+1)}=\frac{1/4}{s(s^2+1)}4s(s2+1)1​=s(s2+1)1/4​一般可拆分为As+Bs+1s2+1\frac{A}{s}+\frac{Bs+1}{s^2+1}sA​+s2+1Bs+1​

系统稳定性判断

1. 通过系统函数H(s)/H(z)判断系统是否稳定.
   –1.先求极点
   –2.s域:若极点均小于0则稳定.z域:若极点绝对值均小于1则稳定.
2. 判断二阶离散系统H(z)的稳定性
   朱利准则:对于二阶系统A(z)=a2z2+a1z+a0A(z)=a_2z^2+a_1z+a_0A(z)=a2​z2+a1​z+a0​
   系统稳定的条件是A(1)>0且A(−1)>0且a2>∣a0∣A(1)>0且A(-1)>0且a_2>|a_0|A(1)>0且A(−1)>0且a2​>∣a0​∣
3. 判断二阶连续系统H(s)的稳定性
   劳斯霍尔维茨准则:对于二阶系统A(s)=a2s2+a1s+a0A(s)=a_2s^2+a_1s+a_0A(s)=a2​s2+a1​s+a0​的全部系数皆为正数且不为0时系统稳定.
4. 在S平面虚轴上存在一阶极点和其余极点位于S平面左半开平面时系统为临界稳定.

奈奎斯特

Tsm=12fmT_{sm}=\frac{1}{2fm}Tsm​=2fm1​:奈奎斯特取样间隔(最大取样间隔).
fsmin=2fmf_{smin}=2f_mfsmin​=2fm​:奈奎斯特取样率.
ws≥2wmw_s\geq2w_mws​≥2wm​:奈奎斯特频率(最小抽样频率).
T≤πwmT\leq\frac{\pi}{w_m}T≤wm​π​:奈奎斯特间隔.
w=2πfw=2\pi fw=2πf f=w2πf=\frac{w}{2\pi}f=2πw​ 2f=wπ2f=\frac{w}{\pi}2f=πw​ T=1fT=\frac{1}{f}T=f1​

响应的初始值求解理解

1. 全响应=零输入响应+零状态响应
   y(t)=yzi(t)+yzs(t)y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)y(t)=yzi​(t)+yzs​(t)
2. 零状态响应在输入的为0时值为0,即在求零输入响应时零状态响应为0.
3. 当求零输入响应时,因为零状态响应在输入为0时值为0,所有此时全响应由零输入响应产生.
   y(t)=yzi(t)y(t)=y_{zi}(t)y(t)=yzi​(t)
4. 当题目给出0_前的初始状态y(0_),若是求零输入响应yzi(t)y_{zi}(t)yzi​(t),则因为零输入的输入为0的全响应由零输入产生,故y(0_)=yzi(t)y(0\_)=y_{zi}(t)y(0_)=yzi​(t).
5. 在求解时需要求解0+后的零输入响应yzi(t)y_{zi}(t)yzi​(t),此时需要求出0+后的初始条件yzi(0+)y_{zi}(0+)yzi​(0+),因为所求零输入响应yzi(t)y_{zi}(t)yzi​(t),故输入为0,即使在0+后输入也依然为0,故零状态响应yzi(0+)=0y_{zi}(0+)=0yzi​(0+)=0(恒等于0),所以0+后的全响应依然由0+后的零输入响应yzi(0+)y_{zi}(0+)yzi​(0+)产生.
   y(0_)=yzi(0−)+0y(0\_)=y_{zi}(0-)+0 y(0_)=yzi​(0−)+0y(0+)=yzi(0+)+0y(0+)=y_{zi}(0+)+0y(0+)=yzi​(0+)+0

例:设题目给出的微分方程为y′′(t)+Ay′(t)+By(t)=f(t),求零输入响应y''(t)+Ay'(t)+By(t)=f(t),求零输入响应y′′(t)+Ay′(t)+By(t)=f(t),求零输入响应
因为所求为零输入,故f(t)=0,此时变成齐次方程y′′(t)+Ay′(t)+By(t)=0y''(t)+Ay'(t)+By(t)=0y′′(t)+Ay′(t)+By(t)=0
对方程两端从0_到0+积分则有
∫0−0+y′′(t)dt+A∫0−0+y′(t)dt+B∫0−0+y(t)dt=∫0−0+0dt\int_{0-}^{0+}y''(t)dt+A\int_{0-}^{0+}y'(t)dt+B\int_{0-}^{0+}y(t)dt=\int_{0-}^{0+}0dt∫0−0+​y′′(t)dt+A∫0−0+​y′(t)dt+B∫0−0+​y(t)dt=∫0−0+​0dt
根据牛顿莱布尼兹公式
y′(0+)−y′(0−)+A[y(0+)−y(0−)]+B∗0=0y'(0+)-y'(0-)+A[y(0+)-y(0-)]+B*0=0y′(0+)−y′(0−)+A[y(0+)−y(0−)]+B∗0=0
因为y(t)从0-到0+积分区域为0(无穷小),故面积为0,也可解释为y(t)在0处无跳变.
为使方程左右两端相等,故有
{y′(0+)−y′(0−)=0y(0+)−y(0−)=0\begin{cases} y'(0+)-y'(0-)=0\\ y(0+)-y(0-)=0 \end{cases}{y′(0+)−y′(0−)=0y(0+)−y(0−)=0​
{y′(0+)=y′(0−)y(0+)=y(0−)\begin{cases} y'(0+)=y'(0-)\\ y(0+)=y(0-) \end{cases}{y′(0+)=y′(0−)y(0+)=y(0−)​
最后可得
{yzi(0+)=y(0+)=y(0−)=yzi(0−)yzi′(0+)=y′(0+)=y′(0−)=yzi′(0−)\begin{cases} y_{zi}(0+)=y(0+)=y(0-)=y_{zi}(0-)\\ y'_{zi}(0+)=y'(0+)=y'(0-)=y'_{zi}(0-) \end{cases}{yzi​(0+)=y(0+)=y(0−)=yzi​(0−)yzi′​(0+)=y′(0+)=y′(0−)=yzi′​(0−)​

零输入响应&零状态响应求解

全响应=零输入响应+零状态响应全响应=零输入响应+零状态响应全响应=零输入响应+零状态响应

连续系统

零输入响应

1. 列特征方程求特征根
2. 根据特征根设通解形式
3. 在求零输入响应时全响应的的初始条件可以当做0+之后的零输入响应,即y(0−)=yzi(0−)=y(0+)=yzi(0+)y(0-)=y_{zi}(0-)=y(0+)=y_{zi}(0+)y(0−)=yzi​(0−)=y(0+)=yzi​(0+)因为零输入时y_{zs}(0-)=0(恒等于),且y(0+)=y(0-).
4. 代入初始条件解出通解的常数即得到零输入响应.

零状态响应

1. 首先要知道,求零状态响应时在0-前未输入的情况下y_{zs}(0-)=0(恒等于).
2. 对原方程两端从0-到0+积分,会出现y′(0+)−y′(0−),y(0+)−y(0−)y'(0+)-y'(0-),y(0+)-y(0-)y′(0+)−y′(0−),y(0+)−y(0−)等式子,由y(0+)=yzi(0+)+yzs(0+)y(0+)=y_{zi}(0+)+y_{zs}(0+)y(0+)=yzi​(0+)+yzs​(0+)y(0−)=yzi(0−)+yzs(0−)y(0-)=y_{zi}(0-)+y_{zs}(0-)y(0−)=yzi​(0−)+yzs​(0−)可知y(0+)−y(0−)=yzi(0+)+yzs(0+)−yzi(0−)−yzs(0−)y(0+)-y(0-)=y_{zi}(0+)+y_{zs}(0+)-y_{zi}(0-)-y_{zs}(0-)y(0+)−y(0−)=yzi​(0+)+yzs​(0+)−yzi​(0−)−yzs​(0−)因为在零输入响应时零状态为0,且因为输入为0,故yzi(0+)=yzi(0−)y_{zi}(0+)=y_{zi}(0-)yzi​(0+)=yzi​(0−)上述式子可写为y(0+)−y(0−)=yzs(0+)−yzs(0−)y(0+)-y(0-)=y_{zs}(0+)-y_{zs}(0-)y(0+)−y(0−)=yzs​(0+)−yzs​(0−)又因在零状态时0-前未输入,所以yzs(0−)=0y_{zs}(0-)=0yzs​(0−)=0,故积分所求结果为yzs(0+)y_{zs}(0+)yzs​(0+)的值.
   上述可推广到yzs′(0+)...yzs(n)(0+)y'_{zs}(0+)...y^{(n)}_{zs}(0+)yzs′​(0+)...yzs(n)​(0+)
3. 根据谁激励的形式设特解,并带入原方程解出特解,并根据特征根列响应的齐次解+特解形式的方程△△△.
4. 将求出的初始条件yzs(0+)...yzs(n)(0+)y_{zs}(0+)...y^{(n)}_{zs}(0+)yzs​(0+)...yzs(n)​(0+)代入所设方程△△△中,并求出待定常数代回方程△△△中,即为零状态响应.

离散系统

零输入响应

1. 根据特征方程求特征根,列通解方程.
2. 因为零输入故零状态为零,所以直接代入初始条件y(0)...y(n)(0)y(0)...y^{(n)}(0)y(0)...y(n)(0)解出待定常数.

零状态响应

1. 根据输入激励设相应的特解,并带入原方程解出.
2. 根据特征根设齐次解+特解形式的方程△△△
3. 通过迭代得出零状态响应的初始条件y(0)...y(n)y(0)...y(n)y(0)...y(n),因为y(n)=yzi(n)+yzs(n)y(n)=y_{zi}(n)+y_{zs}(n)y(n)=yzi​(n)+yzs​(n)故在求解中会因为相减而消去yzi(n)y_{zi}(n)yzi​(n),所以迭代出来的y(0)...y(n)y(0)...y(n)y(0)...y(n),即为yzs(0)...yzs(n)y_{zs}(0)...y_{zs}(n)yzs​(0)...yzs​(n)
4. 将所求的初始条件yzs(0)...yzs(n)y_{zs}(0)...y_{zs}(n)yzs​(0)...yzs​(n)代入方程△△△中解出待定常数再回代,即为零状态响应.

微分方程和差分方程求解注意事项

1. 0+之后的初始状态求法不同.
2. 通解的形式不同,特解的形式也不同.
3. 写出通解的式子要注明t≥0,n≥0t\geq0,n\geq0t≥0,n≥0
   写零状态响应要乘以U(t),U(n)表明该方程0之前均为0.
   写全响应要注明t≥0,n≥0t\geq0,n\geq0t≥0,n≥0.不能乘以U(t),U(n),因为不知道0之前是否有零输入响应.
4. 在求解带特解的方程时:例yzs(t)=Czs1e−t+Czs2e−3t+yzsp(t)y_{zs}(t)=C_{zs1}e^{-t}+C_{zs2}e^{-3t}+y_{zsp}(t)yzs​(t)=Czs1​e−t+Czs2​e−3t+yzsp​(t)求yzs′(t)y'_{zs}(t)yzs′​(t)时,因为特解yzsp(t)y_{zsp}(t)yzsp​(t)也是一个变量,故也要对其进行求导.
5. 求零状态初始条件y(0+)y(0+)y(0+)时.可能会出现
   y(0+)−y(0−)=0⇒y(0+)=y(0−)y(0+)-y(0-)=0\Rightarrow y(0+)=y(0-)y(0+)−y(0−)=0⇒y(0+)=y(0−)的情况.
   注意此时y(0−)y(0-)y(0−)不是题目给定的y(0−)y(0-)y(0−),而是零状态响应yzs(0−)y_{zs}(0-)yzs​(0−).
   而yzs(0−)=0(恒等于)y_{zs}(0-)=0(恒等于)yzs​(0−)=0(恒等于)
   由y(0+)=y(0−)⇒yzi(0+)+yzs(0+)=yzi(0−)+yzs(0−)y(0+)=y(0-)\Rightarrow y_{zi}(0+)+y_{zs}(0+)=y_{zi}(0-)+y_{zs}(0-)y(0+)=y(0−)⇒yzi​(0+)+yzs​(0+)=yzi​(0−)+yzs​(0−)yzs(0+)=yzi(0−)+yzs(0−)−yzi(0+)y_{zs}(0+)=y_{zi}(0-)+y_{zs}(0-)-y_{zi}(0+)yzs​(0+)=yzi​(0−)+yzs​(0−)−yzi​(0+)激励为输入时,yzi(0+)=yzi(0−),yzs(0−)=0y_{zi}(0+)=y_{zi}(0-),y_{zs}(0-)=0yzi​(0+)=yzi​(0−),yzs​(0−)=0故yzs(0+)=0y_{zs}(0+)=0yzs​(0+)=0.
6. 求特解时注意不仅把特解代入原方程,其输入也要全部代入.
7. 当设特解yzsp(k)=p0y_{zsp}(k)=p_0yzsp​(k)=p0​常数时,yzsp(k−n)y_{zsp}(k-n)yzsp​(k−n)的差分均为p0p_0p0​常数.

信号流图

H(s)=s+2(s+1)(s+3)=s+2s2+4s+3H(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}=\frac{s+2}{s^2+4s+3}H(s)=(s+1)(s+3)s+2​=s2+4s+3s+2​
直接形式(卡尔曼形式)表达式:
H(s)=s−1+2s−21+4s−1+3s−2H(s)=\frac{s^{-1}+2s^{-2}}{1+4s^{-1}+3s^{-2}}H(s)=1+4s−1+3s−2s−1+2s−2​
并联形式表达式:
H(s)=0.5s+1+0.5s+3=0.5s−11+s−1+0.5s−11+3s−1H(s)=\frac{0.5}{s+1}+\frac{0.5}{s+3}=\frac{0.5s^{-1}}{1+s^{-1}}+\frac{0.5s^{-1}}{1+3s^{-1}}H(s)=s+10.5​+s+30.5​=1+s−10.5s−1​+1+3s−10.5s−1​
串联(级联)形式表达式:
H(s)=1s+1⋅s+2s+3=s−11+s−1⋅1+2s−11+3s−1H(s)=\frac{1}{s+1}·\frac{s+2}{s+3}=\frac{s^{-1}}{1+s^{-1}}·\frac{1+2s^{-1}}{1+3s^{-1}}H(s)=s+11​⋅s+3s+2​=1+s−1s−1​⋅1+3s−11+2s−1​

• 在画信号流图时:
  1.分解H(s)表达式成需要的形式,注意一般分子次数不大于分母次数.
  2.依据分解好的式子画流图,先画流图开头部分,即源点.
  3.其次按式中最低次幂,一次增加s−1s^{-1}s−1的线段.
  4.接着完成分子的流图,其结果输出到最后一个节点,即陷点.
  注意:常数也连接到最后节点.
  5.最后完成分母部分的流图.
  在绘制过程中从后向前流的需增加负号,若值为负则抵消,表现在式中为两式想减的形式.

• 直接型的式子不需要拆分,其信号流图直接画.

• 并联型的式子需要部分分式展开,其信号流图分别画各式子的流图,再头与头连,尾与尾连.

• 串联型的式子(级联型)需拆分成两分式相乘的形式,其信号流图分别画然后依次首尾相连接即可.

系统框图

• 对于给定系统框图求系统微分方程/差分方程

连续系统

• 一般设最后一个积分器后面的结果为中间变量.
  则每个积分器的前一级为导数关系.
  以第一个求和器的结果为基点,列出第一个方程(1式),并化简成左边均为输出,右边均为输入的形式.
  以最后一个求和器的结果为基点列出第二个方程(2式),并化简成左边均为输出,右边均为输入的形式.
  取(1式)左边输出的式子,并将中间变量替换成y(t)[1式].
  取(2式)右边输入的式子,并将中间变量替换成f(t)[2式].
  令[1式]等于[2式],即得出连续系统的微分方程.

离散系统

• 一般设第一个差分器(延时器)之前的输入为中间变量.
  则每个差分器后为中间变量的差分.
  以第一个求和器的结果为基点,列出第一个方程(1式),并并化简成左边均为输出,右边均为输入的形式.
  以最后一个求和器的结果为基点列出第二个方程(2式),并化简成左边均为输出,右边均为输入的形式.
  取(1式)左边输出的式子,并将中间变量替换成y(k)[1式].
  取(2式)右边输入的式子,并将中间变量替换成f(k)[2式].
  令[1式]等于[2式],即得出离散系统的微分方程.

求解注意

• 根据系统框图求解冲激响应时切记f(t)=δ(t)f(t)=\delta(t)f(t)=δ(t)要参与其中.
• 在写方程时需注意系统框图中求和器是否出现负号.

阶跃响应求解

• 求解阶跃响应时,若h(t)中包含U(t)项,zai对U(t)项积分后记得计算t的取值范围并转换成U(t-n)的形式乘回去.
• 只要对含U(t)的式子进行积分,在积分结束后需计算t的取值范围,并转换为阶跃函数的形式与积分结果相乘.
• 阶跃响应g(t)↔G(s)g(t)\leftrightarrow G(s)g(t)↔G(s)不是H(s)的导数.
  正确的求法为G(s)=H(s)/s=H(s)L[u(t)]G(s)=H(s)/s=H(s)L[u(t)]G(s)=H(s)/s=H(s)L[u(t)]然后再逆变换.
• 一般阶跃响应为e−3tU(t)e^{-3t}U(t)e−3tU(t)时,求H(s)不考虑求导在拉氏变换,而应直接变换g(t)↔G(s)g(t)\leftrightarrow G(s)g(t)↔G(s),再通过H(s)=G(s)1/sH(s)=\frac{G(s)}{1/s}H(s)=1/sG(s)​来求.

拉普拉斯初值定理和终值定理

初值定理的使用条件

• F(s)为真分式(若为假,则化为整数+真分式,然后对真分式使用初值定理)

终值定理的使用条件

• F(s)的极点均在左半平面或s=0处只有一阶极点,若不满足则终值f(∞)f(∞)f(∞)不存在.

初值定理

1. 先将F(s)化简成分子次数小于分母次数(一般用长除法).
2. 将F(s)的分母最高次的s的系数化为1(若式子简单也可以不化).
3. 若化简后出现整式+真分式的情况,直接舍弃整式,计算真分式的初值定理.

终值定理

1. 先计算极点,若极点均在右半平面或有一阶以上极点在jw轴,则终值f(∞)f(∞)f(∞)不存在.
2. 若时域为发散函数,即收敛域不包含虚轴时终值不存在.

(简易)一元三次方程拆分/求根方法

例:x3+7x2+14x+8=0x^3+7x^2+14x+8=0x3+7x2+14x+8=0
式中常数8的因子有[1,2,4,8]
为了让因子之和或差等于二次项的系数.故舍弃8.故根为拆分出的因子的相反数.
x1=−1,x2=−2,x3=−4x_1=-1, x_2=-2,x_3=-4x1​=−1,x2​=−2,x3​=−4即拆分为(x+1)(x+2)(x+4)=0(x+1)(x+2)(x+4)=0(x+1)(x+2)(x+4)=0且三个根两两之间的乘积的总和等于一次项系数,即(−1∗2)+(−1∗−4)+(−2∗−4)=14(-1*2)+(-1*-4)+(-2*-4)=14(−1∗2)+(−1∗−4)+(−2∗−4)=14

拆解步骤

例1:x3+9x2+23x+15=0x^3+9x^2+23x+15=0x3+9x2+23x+15=0

1. 15的因子为[1,3,5,15]
2. 为满足因子之和或差等于二次项的系数,故舍去15
3. 取因子相反数,即x1=−1,x2=−3,x3=−5x_1=-1,x_2=-3,x_3=-5x1​=−1,x2​=−3,x3​=−5
4. 验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数(−1∗−3)+(−1∗−5)+(−3∗−5)=23(-1*-3)+(-1*-5)+(-3*-5)=23(−1∗−3)+(−1∗−5)+(−3∗−5)=23
5. (x+1)(x+3)(x+5)=0(x+1)(x+3)(x+5)=0(x+1)(x+3)(x+5)=0

例2:x3+10x2+27x+18=0x^3+10x^2+27x+18=0x3+10x2+27x+18=0

1. 15的因子为[1,2,3,6,9,18]
2. 为满足因子之和或差等于二次项的系数且只需保留3个,故舍去9,18,而1+3+6=10,故舍去2
3. 取因子相反数,即x1=−1,x2=−3,x3=−6x_1=-1,x_2=-3,x_3=-6x1​=−1,x2​=−3,x3​=−6
4. 验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数(−1∗−3)+(−1∗−6)+(−3∗−6)=27(-1*-3)+(-1*-6)+(-3*-6)=27(−1∗−3)+(−1∗−6)+(−3∗−6)=27
5. (x+1)(x+3)(x+6)=0(x+1)(x+3)(x+6)=0(x+1)(x+3)(x+6)=0

重根情况

例3:x3−4x2+5x−2=0x^3-4x^2+5x-2=0x3−4x2+5x−2=0

1. 2的因子为[1,2]
2. 为满足因子之和或差等于二次项的系数且需满足3个,因不足3个则必有重根,为满足因子之和为4,故取[1,2,1]
3. 取因子相反数,即$x_1=-1,x_2=-2,x_3=-1
4. 验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数(−1∗−2)+(−2∗−1)+(−1∗−1)=5(-1*-2)+(-2*-1)+(-1*-1)=5(−1∗−2)+(−2∗−1)+(−1∗−1)=5
5. (x+1)2(x+2)=0(x+1)^2(x+2)=0(x+1)2(x+2)=0

判断是否存在+1,-1的根

• 考试中一般三次方程会有一个1或-1的根.因为+1,-1是任何数的因子.
• 判断是否有+1,-1的根,即隔次项系数相加等于另一组隔次项系数相加.
  例x3+9x2+23x+15=0x^3+9x^2+23x+15=0x3+9x2+23x+15=0

1. 三次项系数+一次项系数(1+23)=24[1式][1式][1式]
2. 二次项系数+零次项系数(9+15)=24[2式][2式][2式]
3. 因为[1式]=[2式][1式]=[2式][1式]=[2式],故必有一个根为(-1)
4. 若[1式]和[2式]互为相反数,即[1式]=−[2式][1式]=-[2式][1式]=−[2式],则必有一个根为1.

方法失效的情况

• 当上述方法不起租用说明可能存在共轭根
  例s3+s2−2=0s^3+s^2-2=0s3+s2−2=0此时1+2+1≠11+2+1\neq11+2+1​=1,且(−1)+(−2)+(−1)≠1(-1)+(-2)+(-1)\neq1(−1)+(−2)+(−1)​=1,
  但判断是否存在±1\pm1±1的方法依然有效.
  当判断存在一个±1\pm1±1根后可用长除法.
  因为有一个根为(1),故除数为(s-1)
  结果(s−1)(s2+2s+2)(s-1)(s^2+2s+2)(s−1)(s2+2s+2)此时再用配方法,十字相乘公式法等化简.
  

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