Hamming纠错原理

　　Hamming码是一种多重(复式)奇偶检错系统，是由Richard Hamming于1950年提出、目前还被广泛采用的一种很有效的校验方法。它将信息用逻辑形式编码，只要增加少数几个校验位，就能检测出一位出错并自动改正，即实现自动纠错。它的实现原理，是在k个数据位之外加上r个校验位，从而形成一个k+r位的新的码字，使新的码字的码距比较均匀地拉大。把数据的每一个二进制位分配在几个不同的偶校验位的组合中，当某一位出错后，就会引起相关的几个校验位的值发生变化，这不但可以发现出错，还能指出是哪一位出错,为进一步自动纠错提供了依据。

一．校验位的位数

校验位的位数与有效信息的长度有关。设N为校验码的位数，K是有效信息位，r为校验位，若要能够自动纠正一位传输错误，海明码应满足N=K＋r≤2^r－1。若r=3，则N=K＋r≤7，所以K≤4；若要传输的是7位ASCII码，则需要至少4位校验位。

二．分组原则

在海明码中，位号数（1、2、3、……、n）为2ⁿ的那些位，即：1(2⁰)、2(2¹)、4(2²)、8(2³)、…2^r-1位，作为奇偶校验位，记作: P1、P2、P3 、P4、…Pr，余下各位则为有效信息位。

例如：当N=11，K=7，r=4时，相应海明码可示意为：

位号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
P占位	P1	P2	×	P3	×	×	×	P4	×	×	×

其中×均为有效信息，海明码中的每一位分别被P1，P2，P3，P4，…，Pr中的若干位所校验，其规律是：第i位由校验位位号之和等于i的那些校验位所校验。如第7位，由P1,P2,P4（因为7 = 1 + 2 + 4）所检验。

　从而，可以得出每个检验位检验的位号如下表所示：

检验位位号	被检验位位号
P1	1, 3, 5, 7, 9, 11
P2	2, 3, 6, 7, 10, 11
P3	4, 5, 7, 7
P4	8, 9, 10, 11

三．编码、查错、纠错原理

1.编码原理（采用偶校验）

若有效信息为1001000，先将它们依次填入3,5，6,7，9,10,11位。

位号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
P占位	P1	P2	1	P3	0	0	1	P4	0	0	0

再依次计算P1,P2,P3,P4的值。如P1的取值应保证1, 3, 5, 7, 9, 11这6个位上1的个数为偶数，故P1的值应为0；类似的P2，P3，P4的值分别为0,1，0。

位号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
P占位	0	0	1	1	0	0	1	0	0	0	0

2.查错与纠错

因为分四组校验，每组产生一位检错信息，共4位检错信息，构成一个指误字，记为：G4G3G2G1。其中：Gi由被Pi所检验的那些位中1的个数来决定，若1的个数为偶数，则Gi的值为0（因为编码时采用的是偶检验），否则为1。如G1由1, 3, 5, 7, 9, 11位中1的个数来决定。

若G4G3G2G1＝0000，则表示没有出错；如有错，则G4G3G2G1形成的十进制数，即为错误所在位。由于每一位要么为0，要么为1，故可以实现自动纠正。

假设接受方收到的数据为：00110010000，计算可得G1G2G3G4＝0000，表明数据是正确的，去掉校验位后，可得实际数据为：1001000。

假设接受方收到的数据为：00110110000，计算可得G4G3G2G1＝0110，表明第6位出现了错误，故可纠正为0。

　　注意：Hamming纠错码只能准确纠正仅有一位出错的情况。

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