SUST 20/3/27 题解

题目链接：
http://sustoj.com/JudgeOnline/contest.php?cid=1090

A: 最长回文串

马拉车 裸题，

但因为数据很水，所以暴力也是可以过的

下面简单介绍一下马拉车算法

回文分为偶回文(abba)和奇回文(abcba)。在处理奇偶回文之间有差异，所以用到了一个技巧在 (每个字符之间和开头) 插入一个无关的字符，比如说: abbahopxpo 转换为 $#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o# ('$' 是防止越界)起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo，被转换为#a#b#b#a#和#o#p#x#p#o#，长度都转换成了奇数。回文半径数组radius回文半径数组radius是用来记录以每个位置的字符为回文中心求出的回文半径长度，如下图所示

可以看出，radius[i] - 1正好是原字符串中最长回文串的长度。求解回文半径数组radiusmx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界，也就是mx = id + radius[id]。

如图，mx 到 mx 关于 id 对称点之间是一个回文串，要是从 j 到 mx 的对称点 之间存在回文串，那么 i 到 mx 之间也一定会存在回文串那么以 i 为对称点的回文串的长度最少是 min(radius[j],mx−i)并且j=2∗id−i所以最终优化的是 radius[i]=min(radius[2∗id−i],mx−i)

例题一

https://cn.vjudge.net/problem/HDU-3068

AC code

/*
最长回文
HDU - 3068
https://cn.vjudge.net/problem/HDU-3068
题面：最长回文长度
解法：马拉车算法
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 300005
int radius[maxn];
char s[maxn];
char s_new[maxn];
int init(){int len=strlen(s);s_new[0]='$';s_new[1]='#';int j=2;for(int i=0;i<len;i++){s_new[j++]=s[i];s_new[j++]='#';}s_new[j]='\0';return j;
}
int Manacher(){int len=init();int ans=-1;int id;int mx=0;for(int i=1;i<len;i++){if(i<mx) radius[i]=min(radius[2 * id - i], mx - i);else radius[i]=1;while(s_new[i-radius[i]]==s_new[i+radius[i]]){radius[i]++;}if(mx<i+radius[i]){id=i;mx=i+radius[i];}ans=max(ans,radius[i]-1);}return ans;
}
int main(){while(~scanf("%s", s)){printf("%d\n", Manacher());}
}

B: 小K的弹夹

原题是：
L. Poor God Water(ACM-ICPC 2018 焦作赛区网络预赛)
解法呢也很简单：矩阵快速幂
难点是能不能想到矩阵快速幂和怎么构造矩阵

构造矩阵

黄色的表示不可能出现的情况，前两个中后面的必须等于后两个中前面
蓝色是规律(1)
红色是规律(2)

AC code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define ll long long
struct matrix{//矩阵快速幂ll m[9][9];
};
matrix matrix_multi(matrix a,matrix b){matrix tmp;for(int i=0;i<9;i++)for(int j=0;j<9;j++){tmp.m[i][j]=0;for(int k=0;k<9;k++)tmp.m[i][j]=((tmp.m[i][j])% (MOD) + (a.m[i][k]*b.m[k][j]+MOD)% (MOD)) % (MOD);}return tmp;
}
matrix matrix_pow(matrix a,matrix b,ll n){while(n>0){if(n&1) b=matrix_multi(a,b);a=matrix_multi(a,a);n>>=1;}return b;
}
int main(){int T;cin>>T;ll n;matrix a;while(T--){memset(a.m,0,sizeof a.m);a.m[0][1]=a.m[0][2]=1;a.m[1][3]=a.m[1][4]=1;a.m[2][6]=a.m[2][7]=a.m[2][8]=1;a.m[3][0]=a.m[3][2]=1;a.m[4][3]=a.m[4][5]=1;a.m[5][6]=a.m[5][8]=1;a.m[6][0]=a.m[6][1]=a.m[6][2]=1;a.m[7][4]=a.m[7][5]=1;a.m[8][6]=a.m[8] [7]=1;cin>>n;if(n==2){cout<<9<<endl;continue;}if(n==1){cout<<3<<endl;continue;}matrix ans=matrix_pow(a,a,n-3);ll num=0;for(int i=0;i<9;i++){for(int j=0;j<9;j++){num=(num+ans.m[i][j])%MOD;}}cout<<num<<endl;}return 0;
}

C: 费马小定理

原题是：
What day is that day?
先说费马小定理

如果 ppp是素数， aaa 是正整数，且GCD(a,p)=1GCD(a,p)= 1GCD(a,p)=1 ，则 ap−1≡1(modp)a^{p-1} ≡ 1 (mod \ \ p)ap−1≡1(mod p)

N为任意数，所以N可以等于N=7K1+m1其中K1≥0，0≤m1<7N为任意数，所以N可以等于 N=7K_1+m_1 其中 K_1≥0，0≤m_1<7N为任意数，所以N可以等于N=7K1+m1其中K1≥0，0≤m1<7

NN%7=(7K1+m1)N%7=m1N%7N^N\%7=(7K_1+m_1)^N\%7=m_1^N\%7NN%7=(7K1+m1)N%7=m1N%7

m1和7互质，由费马小定理得m16%7=1m_1和7互质，由费马小定理得 m_1^6\%7=1m1和7互质，由费马小定理得m16%7=1

N为任意数，所以N可以等于N=6K2+m2其中K2≥0，0≤m2<6N为任意数，所以N可以等于 N=6K_2+m_2 其中 K_2≥0，0≤m_2<6N为任意数，所以N可以等于N=6K2+m2其中K2≥0，0≤m2<6

m1N%7=m1(6K2+m2)%7=m1m2%7m_1^N\%7=m_1^{(6K_2+m_2)}\%7=m_1^{m_2}\%7m1N%7=m1(6K2+m2)%7=m1m2%7

由于0≤m1<7,0≤m2<6因此可知有7∗6=42种情况会循环出现由于0≤m_1<7, 0≤m_2<6 因此可知有7*6=42种情况会循环出现由于0≤m1<7,0≤m2<6因此可知有7∗6=42种情况会循环出现

但每42个数后他们得起始数字会发生改变，所以总循环数为7∗42=294但每42个数后他们得起始数字会发生改变，所以总循环数为7*42=294但每42个数后他们得起始数字会发生改变，所以总循环数为7∗42=294

AC code

先暴力跑前500个，然后打表
有些人可能直接就能从表里直接发现到规律

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
char c[8][10]={"Saturday","Sunday","Monday","Tuesday","Wednesday","Thursday","Friday"};
typedef long long ll;
ll pow(ll x,ll n,ll mod)//快速幂
{ll res=1;while(n>0){if(n%2==1){res=res*x;res=res%mod;}x=x*x;x=x%mod;n>>=1;}return res;
}
int main(){int m;while(1){scanf("%d", &m);int ans=0;for(int i=1;i<=500;i++){printf("%d ", ans);ans=(ans+pow(i,i,7))%7;if(i%m==0) cout<<endl;}}return 0;
}

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
int mp[500]={0,1,5,4,1,4,5,5,6,0,4,6,0,6,6,0,2,0,1,6,0,0,1,5,6,3,0,6,6,0,1,4,6,5,6,6,0,2,4,5,
0,6,6,0,4,3,0,3,4,4,5,6,3,5,6,5,5,6,1,6,0,5,6,6,0,4,5,2,6,5,5,6,0,3,5,4,5,5,6,1,
3,4,6,5,5,6,3,2,6,2,3,3,4,5,2,4,5,4,4,5,0,5,6,4,5,5,6,3,4,1,5,4,4,5,6,2,4,3,4,4,
5,0,2,3,5,4,4,5,2,1,5,1,2,2,3,4,1,3,4,3,3,4,6,4,5,3,4,4,5,2,3,0,4,3,3,4,5,1,3,2,
3,3,4,6,1,2,4,3,3,4,1,0,4,0,1,1,2,3,0,2,3,2,2,3,5,3,4,2,3,3,4,1,2,6,3,2,2,3,4,0,
2,1,2,2,3,5,0,1,3,2,2,3,0,6,3,6,0,0,1,2,6,1,2,1,1,2,4,2,3,1,2,2,3,0,1,5,2,1,1,2,
3,6,1,0,1,1,2,4,6,0,2,1,1,2,6,5,2,5,6,6,0,1,5,0,1,0,0,1,3,1,2,0,1,1,2,6,0,4,1,0,
0,1,2,5,0,6,0,0,1,3,5,6,1,0
};
char c[8][10]={"Saturday","Sunday","Monday","Tuesday","Wednesday","Thursday","Friday"};
typedef long long ll;
ll pow(ll x,ll n,ll mod)//快速幂
{ll res=1;while(n>0){if(n%2==1){res=res*x;res=res%mod;}x=x*x;x=x%mod;n>>=1;}return res;
}
int main(){int t,n;scanf("%d", &t);mp[1]=1;while(t--){scanf("%d", &n);printf("%s\n", c[mp[n%294]]);}return 0;
}