欧几里得算法中的归谬法和反证法逻辑与算法之七

思索《几何原本》第七卷命题1的证明，是一件十分有趣的事情。

回忆我的小学和中学，好像没有学过反证法似的，归谬法更没有印象。不过，这也许是儿时的记忆有误。数学当中，如果一个命题直接不大好证，我们可以绕个弯，先证明它反面不成立，然后就可以推出，那个待证的原命题是成立的。老师说这样证明有效，你还能反驳什么呢？不过，我们的水平难以反驳，后来真有人反驳这一点。凭什么？一个和原命题相反的命题它不成立，就证明原命题成立了呢？

这一篇小文，先给出我对原本七卷那个命题1证明的理解。原本证明过程的叙述太为简洁，我加上了一些自己的理解，给出该命题1的证明。这个证明过程，几乎就是在使用归谬法（Reductio ad absurdum），也可以说使用了反证法（proof by contradiction）。读《几何原本》，可以让我们对这两个证明方法有更精准的认知。

第七卷命题1：（《几何原本》第215页，天津科技出版社2019年版）

设有两不等自然数，依次从较大数减去较小数，若所得余数总是无法量尽它前面一数，直至最后余数为1，则该两数为互质数。

证明：

设较大数为AB，较小数为CD，如果该两数满足命题1条件，结果却不是互质数。

1）若AB和CD不是互质数，则依据几何原本命题12互质数定义，至少存在一个数，可被这两个数整除，也就是这两个数一定至少有一个公约数，设这个数为E。

可以用3条线段分别表示AB，CD和E。

2）我们先用CD量尽AB，需要多少次，就量多少次，这相当于做除法。

3）因为AB大于CD，最后可得余数FA。而且，你已经量到了最后，剩下的FA自然是小于CD。

4）对FA重复以上步骤，用FA量尽CD，也是需要多少次，就量多少次，也是做除法。

5）因为CD大于FA，不断重复这一过程，最后可得余数HA=1，

1线段图表照

6）不断重复这个求余数的过程，最后的余数就是一个单位，即表示数字1的线条，如上图HA。

7）于是我们有：E除尽CD，CD除尽BF，所以，E也除尽BF。（1，传递）

8）我们还能有：E可以除尽AB，E可以除尽CD，则E也可以除尽AB-CD。（2，直观）

9）并且，因为E可以除尽AF，AF可以除尽DG，所以，E也可以除尽DG。（3，传递）

10）进一步，因为E可以除尽CD，E可以除尽DG，所以，E也可以除尽CD-DG=CG而获得的CG，（4，直观）

11）最后，因为E可以除尽CG，CG可以除尽FH，所以，E也可以除尽FH，（5，传递）

12）所以，E可以除尽AF，又可以除尽FH，留下AF-FH=HA=1,并没有除尽，这种情况是不可能的。

13）所以假设不成立，

14）由此而证明命题1。

但如文本注释所示，欧几里得获得的中间结论1到5，虽然直觉上似乎都没有问题，恐怕正如伊壁鸠鲁学派的嘲弄者所言，就连笨驴也可以懂这常识，哪里需要证明？但一个严格的演绎体系，凭直觉是不行的，每一步都得有体系内的依据。就此而言，欧几里得建立起这个智慧大厦，功盖万世，但在严格性和很多方面，还真是得有人去批评和完善。不然，这科学大业，何以进化？其实，岂非科学大业，各行各业都应该是这个道理。

好了，还是回到两种证明方法，归谬法和反证法上来。

也许不少人把反证法和归谬法看作是一个方法，非专业情况下，混为一谈可以谅解。但对讲究严格性和科学性的数学与逻辑学科而言，二者则是不应该混淆的。

如果我们意在反驳一个命题，用间接的方式来反驳，我们在这时候就常常使用归谬法。英文使用拉丁文reductio ad absurdum，来表达这个方法。命题1的证明中，将其中的1）-12）单独抽取，它就是一个对于命题“AB与CD不是互质数”的反驳，最后推出不可能，就反驳成功。

而如果我们需要反证法来获得结果，常常需要在反驳基础上再使用两个重要的逻辑规律，一个是排中律，一个是矛盾律。反证法的英文表述正好说明了这一点，英文反证法的语词是（proof by contradiction），借助矛盾获得证明。矛盾律让我们需要确定，一对看来相反的命题是否具有矛盾关系。

这也是逻辑与数学的精微之处，两个看似相反的命题不仅可能是矛盾的，也可能不是矛盾的，而是反对的。所以得有了这个确认，我们才能使用排中律：两个互相矛盾的命题之间没有第三者。

既然已经证明一方的命题为假，和它矛盾的另一方就一定为真，这就是在使用排中律。就此而言，几何原本第七卷的命题1中所使用的反证法，也有确认一对命题是否是矛盾命题，再来确认原命题真，那才是严格的。就这一点，几何原本也有待完善之处。不过，人都天生有偷懒就便的习气，有时候也不是不严格，而是著者自身的毛病。这个世界大概多为俗人，就是智者也不能称为圣人，哪里免得了做人的俗气。

存在感是指的当下，但人都有历史感，总希图对过往的痕迹排个顺序。就历史感而言，给人的感觉是先有归谬法，然后才出现反证法。归谬法自然也是希腊人的功劳，一般认为，柏拉图在他的《巴门尼德》篇中首次记载了归谬法的出处。

埃利亚学派的芝诺（前490-430）在与苏格拉底的对话中提到：他说巴门尼德假定“世界是一”，要比“世界是多”更有道理。为什么呢？因为从“世界是多”，可以推出许多不可能的荒谬结论，这就是芝诺的反驳式论证方法：归于不可能的论证（reductio ad impossibile）。当这种归于不可能的论证用到肯定一个矛盾命题的真的时候，归谬法就成了反证法。（《柏拉图对话集》第402页）

2柏拉图对话集

3柏拉图（前428-348）和亚里士多德

4反证法和归谬法图表

这个论证方法，大概也是亚里士多德在他的《工具论》中发掘出逻辑三个基本规律的源头吧，这留待以后讨论。

篇末之时，得提提反证法后来受到的一个挑战。如本文开头所言，凭什么？一个和原命题相反的命题它不成立，就证明原命题成立了呢？

20世纪的数学学派出了个直觉主义，他否定逻辑规律中的排中律。认为排中律仅存在于有限集合之中，对于无限集合则无效。这个提法后来构成了构造性数学的群体，虽然并未影响反证法的继续使用，但无疑是我们今天使用反证法的一个提醒。

算法和逻辑的这几篇简单而粗糙小文，写到这里，算是对古代逻辑与算法思想的极简回顾。下一篇，该是跨越近乎千年的中世纪回顾了。2019/10/28