序贯概率比检验(Sequential probability ratio test，SPRT)

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什么是序贯概率比检验

数理统计学的一个分支，其名称源出于亚伯拉罕·瓦尔德在1947年发表的一本同名著作，它研究的对象是所谓“序贯抽样方案”，及如何用这种抽样方案得到的样本去作统计推断。序贯抽样方案是指在抽样时，不事先规定总的抽样个数(观测或实验次数),而是先抽少量样本,根据其结果，再决定停止抽样或继续抽样、抽多少，这样下去，直至决定停止抽样为止。反之，事先确定抽样个数的那种抽样方案，称为固定抽样方案。

例如，一个产品抽样检验方案规定按批抽样品20件，若其中不合格品件数不超过 3，则接收该批，否则拒收。在此，抽样个数20是预定的，是固定抽样。若方案规定为：第一批抽出3个，若全为不合格品，拒收该批,若其中不合格品件数为x1<3，则第二批再抽3-x1个,若全为不合格品，则拒收该批，若其中不合格品数为 x2<3-x1,则第三批再抽3-x1-x2个,这样下去,直到抽满20件或抽得 3个不合格品为止。这是一个序贯抽样方案，其效果与前述固定抽样方案相同，但抽样个数平均讲要节省些。此例中，抽样个数是随机的，但有一个不能超过的上限20。有的序贯抽样方案，其可能抽样个数无上限，例如，序贯概率比检验的抽样个数就没有上限。

H.F.道奇和 H.G.罗米格的二次抽样方案(见抽样检验)是较早的一个序贯抽样方案。1945年,C.施坦针对方差未知时估计和检验正态分布的均值 μ(见数学期望)的问题,提出了一个二次抽样方案。依此方案,在事先给定了l>0和00及0

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序贯概率比检验的要点

此法在亚伯拉罕·瓦尔德的1947年的著作中有系统介绍，

其要点如下：设在原假设H0和备择假设H1之下，随机变量x的概率密度函数或概率函数随机变量都已知,且分别为p0(x)及p1(x),对x逐次观测，第i次观测的结果记为xi，称比值为样本x1, x2,…, xn的概率比。在固定抽样方案之下，是先给定自然数n,对x进行n次观测得x1,x2,…,xn，计算。

定出一常数C(其值取决于检验水平α),当λn≤C 时,接受原假设H0,否则拒绝H0。这样,在λn的值与C很接近时,H0是否被接受的界限过于断然,不大合理。瓦尔德将此修改为:指定两个数A,B,A

若A

瓦尔德提供的近似公式是A=β/(1-α)，B=(1-β)/ α。他也给出了这种检验法的平均抽样次数和功效函数(见假设检验)，并在1948年与美国统计学家J.沃尔弗维茨一起，证明了在一切两种错误概率分别不超过α和β的检验类中，上述序贯概率比检验所需平均抽样次数最少。瓦尔德在其著作中也考虑了复合检验的问题，有许多统计学者研究了这种检验。瓦尔德的上述开创性工作，引起了许多统计学者对序贯方法的注意，并继续进行工作，从而使序贯分析形成为数理统计学的一个分支。

除了检验问题以外，序贯方法在其他方面也有不少进展，对一般的统计决策问题，在各次观测结果相互独立的情况下的序贯贝叶斯解的问题，在理论上已有较完整的结果。在点估计方面，对序贯的最小化最大估计的研究有了一些结果。在区间估计方面，关于斯坦的二次抽样，正态均值及一般总体均值和线性模型参数的区间估计，有不少的工作。另外，在数理统计学中有一类在应用上重要的问题，叫选择问题，它要求从若干个分布中挑选出一个在某种意义上的最优者。例如，从若干个具有不同均值的正态分布中，挑选出其均值最大者。关于这个问题也发展了一系列的序贯方法。

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