L3-连续变量分布：均匀分布、指数分布、正态分布

1. 定义

如果对于随机变量XXX的分布函数F(x)F(x)F(x)，存在非负函数f(x)f(x)f(x)，使得对于任意实数xxx，有F(x)=∫−∞xf(t)dtF(x)= \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dtF(x)=∫−∞xf(t)dt

则称XXX为连续型随机变量，其中函数f(x)f(x)f(x)称为XXX的概率密度函数。

概率密度f(x)f(x)f(x)具有以下性质：

f(x)≥0f(x)≥0f(x)≥0
∫−∞+∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx =1∫−∞+∞f(x)dx=1
P{x1<X≤x2}=F(x2)−F(x1)=∫x1x2f(x)dx(x1≤x2)P\{x_1<X \leq x_2\} = F(x_2)-F(x_1)= \int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx \;\;\; (x_1≤x_2)P{x1<X≤x2}=F(x2)−F(x1)=∫x1x2f(x)dx(x1≤x2)

2. 常见连续变量分布

####（1）均匀分布
若随机变量XXX的密度函数为
f(x)={1b−a，a≤x≤b0，其他f(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a}， \quad a \leq x \leq b \\ 0， \quad 其他 \\ \end{cases}f(x)={b−a1，a≤x≤b0，其他
则称随机变量XXX服从区间[a,b][a,b][a,b]上的均匀分布，记作X∼U(a,b)X \sim U(a,b)X∼U(a,b)。

XXX的分布函数为
F(x)={0x≤ax−ab−aa≤x≤b1b≤xF(x)= \begin{cases} 0 \quad \quad x \leq a \\ \frac{x-a}{b-a} \quad a \leq x \leq b \\ 1 \quad \quad b \leq x \end{cases}F(x)=⎩⎪⎨⎪⎧0x≤ab−ax−aa≤x≤b1b≤x

（2）指数分布

若随机变量X的密度函数为
f(x)={λe−λxx>00x≤0f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} \quad x>0 \\ 0 \quad \quad \; x \leq 0 \\ \end{cases} f(x)={λe−λxx>00x≤0

则称随机变量XXX服从参数为λ\lambdaλ（λ>0\lambda>0λ>0 为常数）的指数分布。

XXX的分布函数为

F(x)={1−e−λxx>00x≤0λ>0为常数F(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x} \quad x>0 \\ 0 \quad \quad \quad \; x \leq 0 \\ \end{cases} \lambda>0 为常数F(x)={1−e−λxx>00x≤0λ>0为常数

（3）正态分布

若随机变量X的密度函数为
f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2(−∞≤x≤+∞)f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \quad \quad (-\infty \leq x \leq +\infty)f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2(−∞≤x≤+∞)
其中，−∞≤μ≤+∞,θ>0-\infty \leq \mu \leq +\infty,\theta>0−∞≤μ≤+∞,θ>0为参数。

则称随机变量XXX服从参数为(μ,σ2)(\mu,\sigma^2)(μ,σ2)的正态分布，记作X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)。

若μ=0,σ=1\mu=0,\sigma=1μ=0,σ=1，称N(0,1)N(0,1)N(0,1)为标准正态分布，密度函数如下：
φ(x)=12πe−x22(−∞<x<+∞)\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \quad (-\infty < x < +\infty)φ(x)=2π1e−2x2(−∞<x<+∞)

正态分布密度函数的图形性质：

曲线关于直线x=μx=\mux=μ对称。对于任意h>0h>0h>0，有P{μ−h<X≤μ}=P{μ<X≤μ+h}P\{\mu-h<X \leq \mu\}=P\{\mu <X \leq \mu+h\}P{μ−h<X≤μ}=P{μ<X≤μ+h}。
当x=μx=\mux=μ时，f(x)f(x)f(x)取到最大值12πσ\frac {1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}2πσ1。xxx离μ\muμ越远，f(x)f(x)f(x)的值就越小。对于同样长度的区间，当区间离μ\muμ越远时，随机变量XXX落在该区间中的概率就越小。
f(x)f(x)f(x)在x=μ±σx=\mu±\sigmax=μ±σ处有拐点，并以OxOxOx轴为渐近线。
若σ\sigmaσ固定，改变μ\muμ的值，则f(x)f(x)f(x)的图形沿xxx轴平行移动，但不改变其形状。因此f(x)f(x)f(x)图形的位置完全由参数μ确定。
若μ\muμ固定，改变σ\sigmaσ的值，由于f(x)f(x)f(x)的最大值为12πσ\frac {1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}2πσ1，当σ\sigmaσ越小时，f(x)f(x)f(x)图形越陡，XXX落在μ\muμ附近的概率越大；反之，当σ\sigmaσ越大时，f(x)f(x)f(x)图形越平坦，XXX的取值越分散。

3σ3\sigma3σ原则：正态分布距离平均值3σ3\sigma3σ之外的值出现的概率P{∣X−μ∣>3σ}≤0.003P\{|X-\mu|>3\sigma\}≤0.003P{∣X−μ∣>3σ}≤0.003，属于极个别的小概率事件。