按照高等代数的传统解法编写c++程序实现N（N256）元的线性方程组的求解

对于c++实现线性方程组的求解问题，前辈已经有太多的好算法。有一本书叫《C数值算法》，里面就详尽的论述了如何求解各种各样的线性方程组。

然而，前辈们的算法，无一例外几乎都是只得出一个解。面对奇异线性方程组，也只是尽量化为非奇异的线性方程组，然后解出一种解。

我笨拙，自己想了一套算法，按照高等代数人工求解线性方程组的步骤，用c++模仿人工步骤解决线性方程组的无解、一解、多解问题，并给出一解或者多解的解向量矩阵。

该程序选择从txt文档读入矩阵，并将结果输入txt文档。

（c++处理数据的难点之一，就是对矩阵的运算，实现过程是比较麻烦的。也就是数值运算的困难之处）

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<cmath>
using namespace std;
void solution1(double [][256],int,int,string);
void solution2(double [][256],int,int,string);
int main()
{int end;while(true){cout<<"请您先在此程序所在文件目录下建立一个txt文档，文档名格式为xxx.txt"<<endl;cout<<"并且将您所要求的线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）整齐的输入进去"<<endl;cout<<"等您完全输入进去并且保存之后，我们再来进行接下来的工作.我等着您哦"<<endl; system("pause");cout<<"您回来了？看样子你已经输入完毕了.那我们进行接下来的工作吧"<<endl;system("pause");cout<<"请您输入您刚刚创立的txt文档名"<<endl;string filename;cin>>filename;cout<<"开始解线性方程组了哦"<<endl;int row,column;double matrix[256][256];cout<<"请您输入线性方程组的系数矩阵(或者非齐次线性方程组的增广矩阵)的行数和列数"<<endl;cin>>row;cin>>column;ifstream infile;infile.open(filename.c_str());if(!infile.is_open()){cerr<<"啊哦，出错啦.您是不是把文档名输错啦？？？哎！没办法啦，关闭程序从头开始吧"<<endl;}else{for(int i=0;i<row;i++){for(int j=0;j<column;j++){infile>>matrix[i][j];}   }   }infile.close();system("pause");int linequ;//linequ==linear equationscout<<"如果该方程组是齐次线性方程组，请您输入1"<<endl;cout<<"如果该方程组是非齐次线性方程组，请您输入2"<<endl; cout<<"您输入的是："; cin>>linequ;if(linequ==1){solution1(matrix,row,column,filename);} if(linequ==2){solution2(matrix,row,column,filename);}if(linequ!=1&&linequ!=2){cout<<"不按要求来输入，您不乖，我不要和你玩了"<<endl;}system("pause");cout<<"如果您还想继续求解另一个线性方程组，请输入除666以外的任意整数"<<endl;cout<<"如果您想结束该程序了，请输入666"<<endl;cin>>end;if(end==666){break;} }return 0;
}
//定义求解齐次线性方程组的函数
void solution1(double a[][256],int x,int y,string filename)
{ofstream outfile;outfile.open(filename.c_str(),ios::app);if(!outfile.is_open()){cerr<<"啊哦，出错啦！结束程序从头开始吧"<<endl; }//输出线性方程组的系数矩阵 cout<<"********************************************************************************"<<endl;outfile<<endl;outfile<<"您输入的系数矩阵为："<<endl;for(int i=0;i<x;i++){for(int j=0;j<y;j++){outfile<<a[i][j]<<"\t";}outfile<<endl;} cout<<"您输入的系数矩阵为："<<endl; for(int i=0;i<x;i++){for(int j=0;j<y;j++){cout<<a[i][j]<<"\t";}cout<<endl;}cout<<"********************************************************************************"<<endl;outfile<<"该系数矩阵的初次行阶梯矩阵为："<<endl;cout<<"该系数矩阵的初次行阶梯矩阵为："<<endl;//将系数矩阵化为行阶梯矩阵int j,k=0;//j作为循环时矩阵列的变量，k作为循环时矩阵行的变量for(j=0;j<y;j++) {//对矩阵进行冒泡排序，按每列从大到小的顺序排列 for(int i=k;i<x;i++){for(int i=k;i<x;i++){if(fabs(a[i][j])<fabs(a[i+1][j])){for(int j=0;j<y;j++){double temp;temp=a[i+1][j];a[i+1][j]=a[i][j];a[i][j]=temp;}}}} //一行一行的化为行阶梯矩阵for(int i=k+1;i<x;i++){if(a[i][j]!=0){double times;times=a[i][j]/a[k][j];for(int j=0;j<y;j++){a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*times;}  }else{int sum=0;for(int p=0;p<x;p++){if(a[p][j]==0){sum+=1;}}if(sum==2){int temp=0;for(int j=0;j<y;j++){if(a[i][j]==0){temp+=1;}}if(temp!=y){double times;times=a[i][temp]/a[i-1][temp];for(int j=0;j<y;j++){a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*times;}} }}}k+=1; }//输出初次化为的行阶梯矩阵for(int i=0;i<x;i++){for(int j=0;j<y;j++){outfile<<a[i][j]<<"\t";}outfile<<endl;}for(int i=0;i<x;i++){for(int j=0;j<y;j++){cout<<a[i][j]<<"\t";}cout<<endl;}cout<<"********************************************************************************"<<endl;outfile<<"对初次行阶梯矩阵进行数据调整之后的二次行阶梯矩阵为："<<endl;cout<<"对初次行阶梯矩阵进行数据调整之后的二次行阶梯矩阵为："<<endl;//对初次行阶梯矩阵进行数据调整，减小误差for(int i=0;i<x;i++)for(int j=0;j<y;j++){if(fabs(a[i][j])<=1e-10){a[i][j]=0;}}//输出调整之后的行阶梯矩阵for(int i=0;i<x;i++){for(int j=0;j<y;j++){outfile<<a[i][j]<<"\t";}outfile<<endl;}for(int i=0;i<x;i++){for(int j=0;j<y;j++){cout<<a[i][j]<<"\t"; }cout<<endl;} cout<<"********************************************************************************"<<endl;//求出系数矩阵的秩并输出 int r=0;for(int i=0;i<x;i++){int num=0;for(int j=0;j<y;j++){if(a[i][j]==0){num+=1;}}if(num==y){r+=1;}}r=x-r;outfile<<"二次行阶梯矩阵的秩为:"<<r<<endl; cout<<"二次行阶梯矩阵的秩为:"<<r<<endl;cout<<"********************************************************************************"<<endl;if(r==y){outfile<<"该线性方程组仅有零解"<<endl;cout<<"该线性方程组仅有零解"<<endl; }if(r<y){outfile<<"该线性方程组有非零解"<<endl;outfile<<"其解向量构成的矩阵为："<<endl; cout<<"该线性方程组有非零解"<<endl;cout<<"其解向量构成的矩阵为："<<endl; //利用行阶梯矩阵求解线性方程组的解向量并输出 int t;double d[y][r];//该数组存储解向量 for(t=0;t<r;t++){for(int j=0;j<y;j++){d[j][t]=0;}d[y-1-t][t]=1;for(int p=r-1;p>=0;p--){double value=0;int num=0;for(int m=0;m<y;m++){if(a[p][m]==0){num+=1;}if(a[p][m]!=0){break;}}for(int q=y-1;q>=num+1;q--){value+=a[p][q]*d[q][t];}d[num][t]=(-value)/a[p][num];}}for(int i=0;i<y;i++){for(int j=0;j<r;j++){outfile<<d[i][j]<<"\t";}outfile<<endl;}for(int i=0;i<y;i++){for(int j=0;j<r;j++){cout<<d[i][j]<<"\t";  }   cout<<endl;}cout<<"********************************************************************************"<<endl;}outfile.close();
}
//定义求解非齐次线性方程组的函数
void solution2(double a[][256],int x,int y,string filename)
{ofstream outfile;outfile.open(filename.c_str(),ios::app);if(!outfile.is_open()){cerr<<"啊哦，出错啦！结束程序从头开始吧"<<endl; }//输出线性方程组的增广矩阵 cout<<"********************************************************************************"<<endl;outfile<<"您输入的增广矩阵为："<<endl;cout<<"您输入的增广矩阵为："<<endl;for(int i=0;i<x;i++){for(int j=0;j<y;j++){outfile<<a[i][j]<<"\t";}outfile<<endl;}for(int i=0;i<x;i++){for(int j=0;j<y;j++){cout<<a[i][j]<<"\t";}cout<<endl;}cout<<"********************************************************************************"<<endl;outfile<<"该增广矩阵的初次行阶梯矩阵为："<<endl;cout<<"该增广矩阵的初次行阶梯矩阵为："<<endl;//将增广矩阵化为行阶梯矩阵int j,k=0;//j作为循环时矩阵列的变量，k作为循环时矩阵行的变量for(j=0;j<y;j++) {//对矩阵进行冒泡排序 for(int i=k;i<x;i++){for(int i=k;i<x;i++){if(fabs(a[i][j])<fabs(a[i+1][j])){for(int j=0;j<y;j++){double temp;temp=a[i+1][j];a[i+1][j]=a[i][j];a[i][j]=temp;}}}} //一行一行的化为行阶梯矩阵for(int i=k+1;i<x;i++){if(a[i][j]!=0){double times;times=a[i][j]/a[k][j];for(int j=0;j<y;j++){a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*times;}    }else{int sum=0;for(int p=0;p<x;p++){if(a[p][j]==0){sum+=1;}}if(sum==2){int temp=0;for(int j=0;j<y;j++){if(a[i][j]==0){temp+=1;}}if(temp!=y){double times;times=a[i][temp]/a[i-1][temp];for(int j=0;j<y;j++){a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*times;}} }}}k+=1; }//输出初次化为的行阶梯矩阵for(int i=0;i<x;i++){for(int j=0;j<y;j++){outfile<<a[i][j]<<"\t";}outfile<<endl;}for(int i=0;i<x;i++){for(int j=0;j<y;j++){cout<<a[i][j]<<"\t";}cout<<endl;}cout<<"********************************************************************************"<<endl;outfile<<"对初次行阶梯矩阵进行数据调整之后的二次行阶梯矩阵为："<<endl; cout<<"对初次行阶梯矩阵进行数据调整之后的二次行阶梯矩阵为："<<endl; //对初次行阶梯矩阵进行数据调整，减小误差for(int i=0;i<x;i++)for(int j=0;j<y;j++){if(fabs(a[i][j])<=1e-10){a[i][j]=0;}}//输出调整之后的行阶梯矩阵for(int i=0;i<x;i++){for(int j=0;j<y;j++){outfile<<a[i][j]<<"\t";}outfile<<endl;}for(int i=0;i<x;i++){for(int j=0;j<y;j++){cout<<a[i][j]<<"\t"; }cout<<endl;} cout<<"********************************************************************************"<<endl;//求出增广矩阵和系数矩阵的秩并输出 int r=0,R=0;for(int i=0;i<x;i++){int num=0;for(int j=0;j<y;j++){if(a[i][j]==0){num+=1;}}if(num==y){r+=1;}}for(int i=0;i<x;i++){int num=0;for(int j=0;j<y-1;j++){if(a[i][j]==0){num+=1;}}if(num==y-1){R+=1;}   }r=x-r;R=x-R; outfile<<"二次行阶梯矩阵的秩为："<<r<<endl;cout<<"二次行阶梯矩阵的秩为："<<r<<endl;cout<<"********************************************************************************"<<endl;if(r<R){outfile<<"该线性方程组无解"<<endl;cout<<"该线性方程组无解"<<endl; cout<<"********************************************************************************"<<endl;}if(r==R&&r<=y){outfile<<"该线性方程组有多解"<<endl;outfile<<"其解向量构成的矩阵为："<<endl; cout<<"该线性方程组有多解"<<endl;cout<<"其解向量构成的矩阵为："<<endl; //利用行阶梯矩阵求解线性方程组的解向量并输出 int t;double d[y-1][r];for(t=0;t<r;t++){for(int j=0;j<y-1;j++){d[j][t]=0;}d[y-2-t][t]=1;for(int p=r-1;p>=0;p--){double value=0;int num=0;for(int m=0;m<y-1;m++){if(a[p][m]==0){num+=1;}if(a[p][m]!=0){break;}}for(int q=y-2;q>=num+1;q--){value+=a[p][q]*d[q][t];}d[num][t]=(-value)/a[p][num];}}for(int i=0;i<y-1;i++){for(int j=0;j<r;j++){outfile<<d[i][j]<<"\t";}outfile<<endl;}for(int i=0;i<y-1;i++){for(int j=0;j<r;j++){cout<<d[i][j]<<"\t";   }   cout<<endl;}cout<<"********************************************************************************"<<endl;outfile<<"其特解的解向量为："<<endl;cout<<"其特解的解向量为："<<endl;//利用行阶梯矩阵求解线性方程组的特解double c[r],e[y-1];for(int i=0;i<r;i++){c[i]=a[i][y-1];   }for(int i=0;i<y-1;i++){e[i]=0;}e[y-2]=1;for(int p=r-1;p>=0;p--){double value=0; int num=0;for(int m=0;m<y-1;m++){if(a[p][m]==0){num+=1;}if(a[p][m]!=0){break;}}for(int q=y-2;q>=num+1;q--){value+=a[p][q]*e[q];}e[num]=(c[p]-value)/a[p][num];}for(int i=0;i<y-1;i++){outfile<<e[i]<<"\t";}for(int i=0;i<y-1;i++){cout<<e[i]<<"\t"; }cout<<endl;cout<<"********************************************************************************"<<endl;      }if(r==R&&r==y){outfile<<"该线性方程组有唯一解"<<endl;outfile<<"该唯一解的解向量为："<<endl; cout<<"该线性方程组有唯一解"<<endl;cout<<"该唯一解的解向量为："<<endl; double m[r],n[y-1]; for(int i=0;i<r;i++){m[i]=a[i][y-2];}for(int i=0;i<y-1;i++){n[i]=0;}n[y-2]=1;for(int p=r-1;p>=0;p--){double value=0;int num=0;for(int i=0;i<y-1;i++){if(a[p][i]==0){num+=1;}if(a[p][i]!=0){break;}}for(int q=y-2;q>=0;q++){value+=n[q]*a[p][q];}n[num]=(m[p]-value)/a[p][num];}for(int i=0;i<y-1;i++){outfile<<n[i]<<"\t";}for(int i=0;i<y-1;i++){cout<<n[i]<<"\t";}cout<<endl;cout<<"********************************************************************************"<<endl; }outfile.close();
}

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