算法：动态规划(1.钢条切割)

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Dynamic programming 动态规划，与分治法相似，都是通过组合子问题的解来求解原问题，但动态规划是应用于子问题重叠的场景，每个子问题都只求一遍，将解存入表格中，避免不必要的重复工作。

问题：购买长钢条，将其切割为短钢条出售，不同长度的钢条对应不同的价格，希望得到最佳的切割方案使利润最大化。

长度 i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格 p	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

先把结果放出来

钢条长度	切割方案	最大价值
1	1	1
2	2	5
3	3	8
4	2+2	10
5	2+3	13
6	6	17
7	1+6或2+2+3	18
8	2+6	22
9	3+6	25
10	10	30

思考方式

由大化小，因为这种切割问题满足最优子结构性质，所以我们寻找更小一些的子问题，寻找循环不变的问题，即无论哪一次切割，我切割之后会产生两段钢条，而这两段钢条产生了最大的收益，之后这两段钢条再去循环上述过程，直到切割完成；
递归，将钢条切成两块，递归这个过程，最后比较结果产生最优解
动态规划

前两种属于朴素递归方法，反复求解相同的子问题，效率很低，运行时间为n的指数函数，而动态规划每次执行都存储了结果，在下次运行相同子问题是会直接使用结果而不用重复计算，提高了效率

实现方式

动态规划有两种等价的实现方式

自顶向下，备忘录式
自底向上

自顶向下：仍然按照递归形式，过程中保存没格子问题的解，而后遇到子问题都回去查是否之前保存过，节省时间，所以又称是带有备忘录的算法

自底向上：这种方法需要把子问题按照规模排序，由小到大进行求解，因为大问题会依赖与小规模的问题，由于小问题已经求解完毕也相当于存储了之前的结果。

这两种方式渐进运行时间相同，但考虑细节，后者没有频繁递归，所以时间复杂度有更小的系数，当然次数越大系数就越不重要

这里贴出来后者实现解决问题的代码供参考


/*** author: Qit .* date:   On 2019/6/28*/
public class Test {static int q;static int[] p = new int[]{0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30};static int[] r = new int[p.length];public static void main(String[] args) {System.out.printf(getMaxValue(5) + "");}private static int getMaxValue(int length) {return memoized_aux(length, r, p);}private static int memoized_aux(int n, int[] r, int[] p) {if (r[n] > 0) {return r[n];}if (n == 0)return q = 0;elsefor (int i = 1; i <= n; i++) {q = Math.max(q, p[i] + memoized_aux(n - i, r, p));}r[n] = q;System.out.println(n + "---" + r[n]);return q;}
}