条件概率，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式的关系

2024-05-27 02:20:45

1. 条件概率

定义：条件概率是指在某事件B发生的条件下，求另一事件A的概率，记为P(A|B)。它与P（A）是两类不同的概率。

P(A∣B)=P(AB)P(B)P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(AB)

例1：有两个小孩的家庭，样本空间Ω=｛bb,bg,gb,gg｝，其中b代表男孩，g代表女孩。bg和gb是不同的。
（1）事件A=“家中至少有一个女孩”发生的概率为：
P(A)=34P(A) = \frac{3}{4}P(A)=43
（2）若已知事件B=“家中至少有一个男孩”发生，再求事件A的概率为：
P(A∣B)=23P(A|B)=\frac{2}{3}P(A∣B)=32
（3）若对2中的分子分母各除以4，则可得：
P(A∣B)=2/43/4=P(AB)P(B)P(A|B)=\frac{2/4}{3/4}=\frac{P(AB)}{P(B)}P(A∣B)=3/42/4=P(B)P(AB)

2.乘法公式

（1） P(AB)=P(B) * P(A|B) 即条件概率的形式变换

（2）P(A1...An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)...P(An∣A1...An−1)P(A_{1}...A{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})...P(A_{n}|A_{1}...A_{n-1})P(A1...An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)...P(An∣A1...An−1)
证明：
上式的右边等于P(A1)∗P(A1A2)P(A1)∗P(A1A2A3)P(A1A2)...∗P(A1...An)P(A1..An−1)P(A_{1})*\frac{P(A_{1}A_{2})}{P(A_{1})}*\frac{P(A_{1}A_{2}A_{3})}{P(A_{1}A_{2})}...*\frac{P(A_{1}...A_{n})}{P(A_{1}..A_{n-1})}P(A1)∗P(A1)P(A1A2)∗P(A1A2)P(A1A2A3)...∗P(A1..An−1)P(A1...An)
从而上式成立。

此处省略不返回抽样，返回抽样，传染病模型，安全模型。

3.全概率公式

定义：设B1,B2,...,BnB_{1},B_{2},...,B_{n}B1,B2,...,Bn是样本空间Ω的一个划分，即互不相容，且并集为Ω，则对任一事件A有P(A)=∑i=1nP(Bi)∗P(A∣Bi)P(A) = \sum_{i=1}^nP(B_{i}) *P(A|B_{i})P(A)=i=1∑nP(Bi)∗P(A∣Bi)

通俗理解为：把每一块AiA_{i}Ai的概率求出来，再加起来，从而求得A的总概率

4. 贝叶斯公式

跟全概率公式反着，要求A里面小块的概率，即P(Bi∣A)P(B_{i}|A)P(Bi∣A)

定义：P(Bi∣A)=P(Bi)∗P(A∣Bi)∑i=1nP(Bj)∗P(A∣Bj)P(B_{i}|A) = \frac{P(B_{i})*P(A|B_{i})}{\sum_{i=1}^nP(B_{j})*P(A|B_{j})}P(Bi∣A)=∑i=1nP(Bj)∗P(A∣Bj)P(Bi)∗P(A∣Bi)

分母是全概率公式，分子是乘法公式。贝叶斯公式由两者结合而来。

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