Contrastive Loss 对比损失函数及梯度的计算

Contrastive loss 最初源于 Yann LeCun “Dimensionality Reduction by Learning an Invariant Mapping” CVPR 2006。
该损失函数主要是用于降维中，即本来相似的样本，在经过降维（特征提取）后，在特征空间中，两个样本仍旧相似；而原本不相似的样本，在经过降维后，在特征空间中，两个样本仍旧不相似。同样，该损失函数也可以很好的表达成对样本的匹配程度。

Contrastive Loss 定义

在caffe的孪生神经网络（siamese network）中，其采用的损失函数是contrastive loss，这种损失函数可以有效的处理孪生神经网络中的paired data的关系。contrastive loss的表达式如下：
L ( W , ( Y , X 1 , X 2 ) ) = 1 2 N ∑ n = 1 N Y D W 2 + ( 1 − Y ) m a x ( m − D W , 0 ) 2 L(W, (Y, X_1, X_2))=\frac{1}{2N}\sum_{n=1}^NYD_W ^2+(1-Y)max(m-D_W,0)^2 L(W,(Y,X1,X2))=2N1n=1∑NYDW2+(1−Y)max(m−DW,0)2
其中 D W ( X 1 , X 2 ) = ∣ ∣ X 1 − X 2 ∣ ∣ 2 = ( ∑ i = 1 P ( X 1 i − X 2 i ) 2 ) 1 2 D_W(X_1, X_2)=||X_1 - X_2||_2 = (\sum^P_{i=1}{(X^i_1 - X^i_2)^2})^\frac{1}{2} DW(X1,X2)=∣∣X1−X2∣∣2=(∑i=1P(X1i−X2i)2)21，代表两个样本特征 X 1 X_1 X1 和 X 2 X_2 X2 的欧氏距离（二范数） P P P 表示样本的特征维数， Y Y Y 为两个样本是否匹配的标签， Y = 1 Y=1 Y=1 代表两个样本相似或者匹配， Y = 0 Y=0 Y=0 则代表不匹配， m m m 为设定的阈值， N N N 为样本个数。

观察上述的contrastive loss的表达式可以发现，这种损失函数可以很好的表达成对样本的匹配程度，也能够很好用于训练提取特征的模型。

当 Y = 1 Y = 1 Y=1（即样本相似时），损失函数只剩下 L S = 1 2 N ∑ n = 1 N Y D W 2 L_S = \frac{1}{2N}\sum_{n=1}^NYD_W ^2 LS=2N1∑n=1NYDW2 ，即原本相似的样本，如果在特征空间的欧式距离较大，则说明当前的模型不好，因此加大损失。
当 Y = 0 Y = 0 Y=0（即样本不相似时），损失函数为 L D = 1 2 N ∑ n = 1 N ( 1 − Y ) m a x ( m − D W , 0 ) 2 L_D = \frac{1}{2N}\sum_{n=1}^N (1-Y)max(m-D_W,0)^2 LD=2N1∑n=1N(1−Y)max(m−DW,0)2 ，即当样本不相似时，其特征空间的欧式距离反而小的话，损失值会变大，这也正好符号我们的要求。

[注意这里设置了一个阈值ｍargin，表示我们只考虑不相似特征欧式距离在０～ｍargin之间的，当距离超过ｍargin的，则把其loss看做为０(即不相似的特征离的很远，其loss应该是很低的；而对于相似的特征反而离的很远，我们就需要增加其loss，从而不断更新成对样本的匹配程度)]

这张图表示的就是损失函数值与样本特征的欧式距离之间的关系，其中红色虚线表示的是相似样本的损失值，蓝色实线表示的不相似样本的损失值。

梯度计算

论文中使用stochastic gradient descent 来不断更新 D W D_W DW,不断减小loss，更好表达成对样本的匹配程度。
(这里我们先忽略累和操作，后面自己加上即可)

Y = 1（即样本相似时），损失函数为 L S = 1 2 N ∑ n = 1 N D W 2 L_S = \frac{1}{2N}\sum_{n=1}^ND_W ^2 LS=2N1∑n=1NDW2 ，此时计算梯度为：
∂ L S ∂ W = D W ∂ D W ∂ W \frac{\partial L_S}{\partial W} = D_W\frac{\partial D_W}{\partial W} \\ ∂W∂LS=DW∂W∂DW

即分别对 X 1 X_1 X1和 X 2 X_2 X2求偏导，更新梯度 :

Y = 0 （即样本不相似时），损失函数为 L D = 1 2 N ∑ ( 1 − Y ) m a x ( m − D W , 0 ) 2 L_D = \frac{1}{2N}\sum (1-Y)max(m-D_W,0)^2 LD=2N1∑(1−Y)max(m−DW,0)2，此时计算梯度为 :

∂ L D ∂ W = { 0 , D W > m − ( m − D W ) ∂ D W ∂ W , D W < m \frac{\partial L_D}{\partial W} = \left\{ \begin{matrix} &0 &, D_W > m \\ &-(m - D_W)\frac{\partial D_W}{\partial W} &, D_W < m \end{matrix}\right. ∂W∂LD={0−(m−DW)∂W∂DW,DW>m,DW<m

同理，当 D W < m D_W < m DW<m时，分别对 X 1 X_1 X1和 X 2 X_2 X2求偏导：

Spring Model Analogy 弹簧模型类比

弹簧模型公式：
F = − K X F = -KX F=−KX
(F表示两点间弹簧的作用力，K是弹簧的劲度系数，X为弹簧拉伸或收缩的长度，弹簧静止状态时X=0)

论文中将该contrastive loss损失函数类比于弹簧模型：将成对的样本特征，使用该损失函数来表达成对样本特征的匹配程度。成对的样本特征之间（类比于图中的一个个点），我们假设这些点之间都有一个弹簧，弹簧静止时长度为０，点对之间无作用力。①对于样本相似的特征，相当于其间的弹簧产生了正位移Ｘ(X < m)，即弹簧被拉伸了X的长度，此时两个相似特征（点）之间存在吸引力。②对于样本不相似的特征，相当于其间的弹簧产生的了负位移，即弹簧被压缩了，此时两个不相似特征之间存在排斥力。注意弹簧的特性：当两点之间弹簧位移超Ｘ>m时，此时，弹簧发生形变，此时两点之间视为没有吸引力了。具体如下图所示：

结合上面求梯度的公式也可以很好的理解该损失函数的思想，上面的 ∂ L S ∂ W \frac{\partial L_S}{\partial W} ∂W∂LS 和 ∂ L D ∂ W \frac{\partial L_D}{\partial W} ∂W∂LD 代表两点间弹簧的作用力F， ∂ D W ∂ W \frac{\partial D_W}{\partial W} ∂W∂DW 对应弹簧的劲度系数， D W D_W DW 和 − ( m − D W ) -(m - D_W) −(m−DW)代表弹簧的缩放位移。

上图显示了类比的弹簧系统。实心圆表示与中心点相似的点。空心圆圈代表不同的点。弹簧显示为红色曲折线。作用在点上的力以蓝色箭头显示。箭头的长度近似给出了力的强度。在右侧的两个图中，x轴是距离 D W D_W DW，y轴是损失函数的值。（a）中显示使用仅吸引attractonly弹簧连接到相似点的点。（b）表示相似点对的损失函数及其梯度。（c）表示该点仅与半径为m的圆内的不同点连接，仅具有m-repulse-only排斥弹簧连接到不相似的点。（d）显示不相似点对相关的损失函数及其梯度。（e）显示一个点被不同方向的其他点拉动，形成平衡的情况。

Reference：

Dimensionality Reduction by Learning an Invariant Mapping
https://blog.csdn.net/autocyz/article/details/53149760