原理

介绍

种群初始化：初代染色体，[x_min,x_max)之间的符合均匀分布的随机数
变异：染色体（解向量）做差分运算；使用种群中三条不同的染色体结合变异因子做差分运算，形成变异染色体；考虑了种群染色体信息
交叉复制：变异染色体和原染色体交叉复制；使用交叉因子交叉染色体中的基因，剩下基因直接复制，形成交叉复制染色体；考虑了种群基因信息
选择：比较交叉复制染色体和原染色体选择适应度高的染色体作为下代染色体，考虑了种群历史信息

建模

变异：
v m ( g + 1 ) = x r 1 ( g ) + F ⋅ ( x r 2 ( g ) − x r 3 ( g ) ) s . t . m ≠ r 1 ≠ r 2 ≠ r 3 备注： { m 为染色体序号 F 为变异因子 g 为第几代，迭代次数 x r 1 第 r 1 条染色体 v m ( g + 1 ) 为变异后的第 m 条染色体 \begin{aligned} v_m(g+1)=x_{r1}(g)+F\cdot(x_{r2}(g)-x_{r3}(g)) \\ s.t.\ m\neq r1\neq r2 \neq r3 \\ 备注： \begin{cases} m为染色体序号 \\ F为变异因子 \\ g为第几代，迭代次数 \\ x_{r1}第r1条染色体 \\ v_m(g+1)为变异后的第m条染色体 \end{cases} \end{aligned} vm(g+1)=xr1(g)+F⋅(xr2(g)−xr3(g))s.t. m=r1=r2=r3备注：⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧m为染色体序号F为变异因子g为第几代，迭代次数xr1第r1条染色体vm(g+1)为变异后的第m条染色体
交叉：
u m , n ( g + 1 ) = { v m , n ( g + 1 ) , i f c r r a n d [ 0.0 , 1.0 ) ≤ C R o r j r a n d i n t [ 0 , D ) = n x m , n ( g ) , o t h e r w i s e 备注： { m : 第 m 条染色体，矩阵行 n : 第 n 个基因，矩阵列 D ：染色体向量维数 C R : 交叉因子 u m , n ( g + 1 ) : 交叉复制染色体，交叉复制结果染色体 v m , n ( g + 1 ) : 变异染色体 x m , n ( g ) : 原染色体 \begin{aligned} u_{m,n}(g+1)= \begin{cases} v_{m,n}(g+1),\ if\ cr_{rand[0.0, 1.0)}\leq CR\ or\ j_{randint[0,D)}=n \\ x_{m,n}(g),\ otherwise \end{cases} \\ 备注： \begin{cases} m: 第m条染色体，矩阵行 \\ n: 第n个基因，矩阵列 \\ D：染色体向量维数 \\ CR: 交叉因子 \\ u_{m,n}(g+1): 交叉复制染色体，交叉复制结果染色体 \\ v_{m,n}(g+1): 变异染色体 \\ x_{m,n}(g): 原染色体 \end{cases} \end{aligned} um,n(g+1)={vm,n(g+1), if crrand[0.0,1.0)≤CR or jrandint[0,D)=nxm,n(g), otherwise备注：⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧m:第m条染色体，矩阵行n:第n个基因，矩阵列D：染色体向量维数CR:交叉因子um,n(g+1):交叉复制染色体，交叉复制结果染色体vm,n(g+1):变异染色体xm,n(g):原染色体

选择:
x m ( g + 1 ) = { u m ( g + 1 ) , i f f i t n e s s ( u m ( g + 1 ) ) ≤ f i t n e s s ( x m ( g ) ) x m ( g ) , o t h e r w i s e 备注： { f i t n e s s : 适应度，根据目标函数得出 x m ( g + 1 ) ：第 m 条下一代染色体 \begin{aligned} x_m(g+1)= \begin{cases} u_m(g+1),\ if\ fitness(u_m(g+1))\leq fitness(x_m(g)) \\ x_m(g),\ otherwise \end{cases} \\ 备注： \begin{cases} fitness: 适应度，根据目标函数得出 \\ x_m(g+1)：第m条下一代染色体 \end{cases} \end{aligned} xm(g+1)={um(g+1), if fitness(um(g+1))≤fitness(xm(g))xm(g), otherwise备注：{fitness:适应度，根据目标函数得出xm(g+1)：第m条下一代染色体

注意

适应度函数选择

本文选择目标函数F1作为适应度函数，因此适应度越小越好
本文DE算法select过程中适应度小的子代解会被保留

一次迭代后记录适应度最大还是最小解

由于目标函数F1且select过程中适应度小的子代解会被保留，因此一次迭代后记录适应度最小的解

代码

步骤：

种群初始化：初代染色体，[x_min,x_max)之间的符合均匀分布的随机数
变异：染色体（解向量）做差分运算；使用种群中三条不同的染色体结合变异因子做差分运算，形成变异染色体；考虑了种群染色体信息
交叉复制：变异染色体和原染色体交叉复制；使用交叉因子交叉染色体中的基因，剩下基因直接复制，形成交叉复制染色体；考虑了种群所有基因信息
选择：比较交叉染色体和原染色体选择适应度高的染色体作为下代染色体

import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as pltmatplotlib.rcParams['font.family'] = 'STSong'
matplotlib.rcParams['font.size'] = 10def F1(x):"""F1函数:param x: 粒子当前位置 一个解4维:return: 适应度"""return np.sum(x ** 2)class Population(object):"""种群"""def __init__(self, x, v, u):"""初始化:param x: 初始种群:param v: 变异种群:param u: 交叉种群"""self.x = xself.v = vself.u = uclass DifferentialEvolution(object):"""差分进化算法"""def __init__(self, iter_num, fitness_end, x_min, x_max, NP, D, F0, CR):"""初始化:param iter_num: 迭代次数 进化代数:param fitness_end: 截止适应度:param x_min: 下限，变异交叉复制之后的染色体，不在上下限之间则重新初始化:param x_max: 上限:param NP(number population): 种群中个体数量:param D(dimension): 染色体维度 一条染色体一个解 解的维度:param F0: 初始变异因子:param CR: 交叉因子"""# 终止条件self.iter_num = iter_numself.fitness_end = fitness_end# 解空间self.x_min = x_minself.x_max = x_max# 求解者self.NP = NPself.D = D# 算法参数self.F0 = F0self.CR = CR# 存放个体目标函数值(父辈）self.fitnesss = np.zeros(self.NP)# 存放个体目标函数值(子代）self.fitnesss_son = np.zeros(self.NP)# 记录每次迭代的最小适应值self.fitness_list = []def initialize_population(self):"""初始化种群:return:"""# 初始种群x = np.zeros((self.NP, self.D))# 变异种群v = np.zeros((self.NP, self.D))# 选择种群u = np.zeros((self.NP, self.D))# 赋初值 [x_min,x_max)之间的符合均匀分布的随机数，(数量,维数)x = np.random.uniform(self.x_min, self.x_max, (self.NP, self.D))# 适应度计算for i in range(self.NP):self.fitnesss[i] = F1(x[i, :])self.fitness_list.append(np.min(self.fitnesss))return Population(x, v, u)def evolve(self, population):"""evolution 进化:param: population: 种群:return:"""for gen in range(self.iter_num):# 变异self.mutate(gen, population)# 交叉复制self.cross_copy(population)# 选择self.select(population)# 保存最佳适应度self.fitness_list.append(min(self.fitnesss))print('第', gen + 1, '迭代的最佳适应度：', self.fitness_list[-1])# 退出条件if self.fitness_list[-1] < self.fitness_end:break# 取出最佳基因best_chromosome = population.x[np.argmin(self.fitnesss), :]return best_chromosome, self.fitness_listdef mutate(self, gen, population):"""mutation 变异:param: gen: 当前代:param: population: 种群:return:"""# F自适应变异算子## 随着迭代次数增加f_gen趋近于0f_gen = np.exp(1 - self.iter_num / (self.iter_num + 1 - gen))## np.power(2, f_gen): 2的f_gen次方## 随着迭代次数增加np.power(2, f_gen)趋近于1, F从接近2倍F0到F0（F0=0.4）F = self.F0 * np.power(2, f_gen)# 变异每个个体for m in range(self.NP):# [0, self.NP) 1取一个值r1 = np.random.randint(0, self.NP, 1)# r1不取mwhile r1 == m:r1 = np.random.randint(0, self.NP, 1)r2 = np.random.randint(0, self.NP, 1)# r2不取m和r1while (r2 == m) or (r2 == r1):r2 = np.random.randint(0, self.NP, 1)r3 = np.random.randint(0, self.NP, 1)# r3不取m,r1和r2while (r3 == m) or (r3 == r2) or (r3 == r1):r3 = np.random.randint(0, self.NP, 1)# 存放变异后种群population.v[m, :] = population.x[r1, :] + F * (population.x[r2, :] - population.x[r3, :])def cross_copy(self, population):"""crossover_copy 交叉复制交叉所有基因，一列基因复制所有基因，一列基因:param: population: 种群:return:"""# 随机交叉染色体的某个维度j = np.random.randint(0, self.D, 1)for m in range(self.NP):for n in range(self.D):# cr输入 [0,1)cr = np.random.random()# 交叉if (cr < self.CR) or (n == j):# 赋值为变异维度元素population.u[m, n] = population.v[m, n]# 复制else:# 赋值为原始维度元素population.u[m, n] = population.x[m, n]# 边界处理for m in range(self.NP):for n in range(self.D):# 元素值（基因）不在最小值最大值之间，则重新初始化该元素if (population.u[m, n] < self.x_min) or (population.u[m, n] > self.x_max):population.u[m, n] = np.random.uniform(self.x_min, self.x_max)def select(self, population):"""selection 选择:param: population: 种群:return:"""# 遍历每一条基因，计算子代个体适应度值for m in range(self.NP):self.fitnesss_son[m] = F1(population.u[m, :])# 遍历每一条基因，for m in range(self.NP):# 子代染色体适应度<父代染色体适应度，使用交叉复制后的染色体uif self.fitnesss_son[m] < self.fitnesss[m]:population.x[m, :] = population.u[m, :]# 重新计算当代染色体适应度for m in range(self.NP):self.fitnesss[m] = F1(population.x[m, :])def show(self, best_chromosome, fitness_list):"""展示迭代过程:param best_chromosome: 最优染色体:param fitness_list: 每次迭代适应度值:return:"""print("最优基因:", str(best_chromosome))print("最优解:", str(fitness_list[-1]))plt.title("迭代过程")plt.xlabel("迭代次数")plt.ylabel("适应度")x = range(1, len(fitness_list) + 1)y = fitness_listplt.plot(x, y, label="DE")plt.legend()plt.show()if __name__ == '__main__':de = DifferentialEvolution(100, 10e-6, 20, -20, 50, 10, 0.4, 0.1)population = de.initialize_population()best_chromosome, fitness_list = de.evolve(population)de.show(best_chromosome, fitness_list)

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