直线回归和相关------（六）协方差分析

一、协方差分析的意义

协方差（covariance）是两个变数的互变异数。对于一个具有N对（X,Y）的有限总体，定义：

$cov =\frac{1}{N}\sum_{1}^{N} (X_{i}-\mu _{X})(Y_{i}-\mu _{Y})$

对于由n对（x,y）组成的样本，则可定义为：

$\widehat{cov} =\frac{1}{n-1}\sum_{1}^{N} (x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})$

由上可知，样本协方差 $\widehat{cov}$ 是乘积和与自由度的商，平均的乘积和。又称 $\widehat{cov}$ 为均积（mean product）或协方，记作MP，是总体cov的估值。

协方差分析（analysis of variance）是将回归分析和方差分析综合起来的一种统计方法

根据变异来源可将自由度和平方和分解，称方差分析（单个变数）。

当有两个变数时，也可按照变异来源，将自由度和乘积和分解，这就是协方差分析。

由于乘积和是回归和相关分析的一个基本特征数，乘积和和平方和同时按变异来源分解，就使回归、相关分析和方差分析能够结合起来应用。

二、协方差分析的功用

（1）当（x,y）为因果关系时，可利用y依x的回归系数矫正y变数的处理平均数，提高精确度。要提高试验的精确度和灵敏度，必须严格控制试验条件的均匀性，使各处理处于尽可能一致的试验条件下。这一做法在统计上叫做试验控制。但在某些情况下，试验控制不一定能实施。在这种情况下，如果没有很好控制的因素x可以量测，而又和实验结果y存在着回归关系，那就可以利用回归，将各个y矫正到x的同样水平（x= $\bar{x}$ ）的结果。这一做法在统计上叫做统计控制。统计控制作为试验控制的一种辅助手段，对于减少误差，可得到很好地效果。

（2）当（x,y）为相关关系时，可通过估计不同变异来源的总体方差和协方差，做出相应的相关分析。根据均方MS和期望均方EMS的关系，可获得不同变异来源的总体方差估值，从而进行有关遗传参数的分析。在协方差分析中，根据协方MP和期望协方EMP的关系，同样可得到不同变异来源的总体协方差估值。有了这些估值，可进行相关分析。在分析遗传育种和生态、环保等的研究中非常有用。

三、单项分组资料的协方差分析

（2）乘积和和自由度的分解

x,y的总自由度和平方和，可分解成组内和组间两个部分。总乘积和（ $SP_{T}$ ）分为组间（ $SP_{t}$ ）和（ $SP_{e}$ ）组内，分解式：

（3）回归关系的协方差分析

变数各自进行F测验，x显著或不显著，y不显著，这一推断未必可靠，需要弄清楚两者的是否有回归关系。如果 x,y 无关，采纳上述推断；如果 x,y 有关，必须进一步追究：将 x 的不同对于y的影响消去后[即通过y依x的回归，将 $\bar{y}_{i}$ 矫正为 $x=\bar{x}$ 时的值 $\bar{y}_{i(x=\bar{x})}$ (矫正平均数) ]， $\bar{y}_{i(x=\bar{x})}$ 间是否有显著差异？协方差分析可解决这些问题，步骤：

（a）列出处理间、处理内和总变异的DF、 $SS_{x}$ ， $SS_{y}$ 和SP。

（b）测验x和y是否存在直线回归关系。对处理内项（误差）作回归分析，求得其离回归平方和 $Q_{e}$ 和自由度 $\nu_{e}$ =k(n-1)-1,测验 $H_{0}:\beta =0$ 对 $H_{A}:\beta \neq 0$ 。若接受 $H_{0}:\beta =0$ ，则表明该资料只能用y变数值作方差分析，x变数值不能提供新的信息。若否定 $H_{0}:\beta =0$ ，则表明x和y有着显著的回归关系，需进行下一步。

（c）测验矫正平均数 $\bar{y}_{i(x=\bar{x})}$ 间的差异显著性。对总变异项作回归分析，求得其离回归平方和 $Q_{T}$ 和自由度 $\nu_{T}$ =（kn-2）；再由（ $Q_{T}$ - $Q_{e}$ ）和（ $\nu_{T}$ - $\nu_{e}$ ）=k-1即得矫正平均数 $\bar{y}_{i(x=\bar{x})}$ 间的平方和和自由度，因而就能对 $\bar{y}_{i(x=\bar{x})}$ 间的显著性作出F测验（这时尚未算出各个 $\bar{y}_{i(x=\bar{x})}$ 的值）。

（d）如果所得的F为不显著，表明 $\bar{y}_{i(x=\bar{x})}$ 间无显著差异；如果F为显著，则必须算出各个 $\bar{y}_{i(x=\bar{x})}$ ，进行多重比较，作出相应推断。

（e）矫正平均数 $\bar{y}_{i(x=\bar{x})}$ 的计算： $\hat{y}=\bar{y}+b(x-\bar{x})$ 第i行的矫正平均数为：

$\bar{y}_{i(x=\bar{x})}=\bar{y_{i}}+b(\bar{x}-\bar{x}_{i})$ (将 x 的不同对于y的影响消去)

（f）矫正平均数的比较，假设 $H_{0}:\mu_{i(x=\bar{x})}=\mu_{j(x=\bar{x})}$ 对 $H_{A}:\mu_{i(x=\bar{x})}\neq\mu_{j(x=\bar{x})}$ （i和j代表1,2,...,k,i $\neq$ j）,矫正平均数的差数标准误是：

（3）相关关系资料的协方差分析

与回归关系资料的协方差分析不同，相关关系主要讨论两个互有联系的总体的相关问题。

四、两直线项分组资料的协方差分析

（1）资料模式与线性生成

若资料有m类k组，则 mk 对观察值按两个方向分类：

（2）乘积和和自由度的分解

总SP可分解为类间、组间和误差三部分，值为：

（3）协方差分析

两项分组资料的协方差分析和单项分组资料并无原则上的不同，只是多了一个方向的变异来源。