前言

本文代码参考《运筹学教程》（第四版）中的第一章第四节中所介绍的单纯形法理论基础所实现，其中的各种符号表示与书中的符号对应。

其次，本文中只考虑模型有最优解的情况，不考虑模型无最优解或无限最优解。

一、单纯形法理论基础

单纯形法的理论可以在网上搜索到许多相关资料，在此不多赘述，直接进入正题。

二、Python代码实现

单纯形法的实现可以分为以为几个模块：循环、最优性检验、结果输出

1.循环求解

这里是单纯形法的主体部分，主要是分为以下几个步骤：求解检验数σ、确定换入基变量、确定换出基向量、对矩阵A进行高斯变换。以此循环。

代码如下：

def pivot(j,a,b):Cb=[c[i] for i in j]      #更新Cb# 对sigma进行求解sigma = np.array([0]*a.shape[1]).astype(float)   #求解sigma，用做后续的判定for i in range(a.shape[1]):temp = 0for k in range(a.shape[0]):temp += a[k, i] * Cb[k]sigma[i] = c[i] - temp# 得到换入变量，从sigam中最大值的索引为换入基变量vetorIn = np.argmax(sigma)  # 这里的vetorIn是横着的索引# 得到换出基变量theta = []for i in range(len(b)):if a[i, vetorIn] == 0:       #如果为0，则不能当作除数theta.append(10000000000)else:theta.append(b[i] / a[i, vetorIn])index = np.argmin(theta)  # 确定换出基变量，这里的index时竖着的索引vetorOut = j[np.argmin(theta)]          #这里得到的是换出基变量，但是后面一般都用其索引index#行变换，进行高斯变换temp=a[index, vetorIn]a[index, :] = a[index, :] / a[index, vetorIn]      #对换出基向量进行变换-----矩阵Ab[index] = (b[index] /temp)                        #对换出基向量进行变换+-----举证bfor i in range(a.shape[0]):                        #对其他的行向量高斯变换if i != index:if a[i, vetorIn] != 0:                    #如果为换入基向量列中有0，则无需变换temp=a[i, vetorIn]a[i, :] = a[i, :] - a[i, vetorIn] * a[index, :]b[i] = b[i] - temp * b[index]# 基向量的替换j[index] = vetorIn  # 基变量return j,a,b,sigma

2.最优性检验

若在σ列表中，有任意一个元素大于0，则不是最优；否则，已经找到最优解

def check(j,a,b,c,d):"""这里的主要的求解步骤:param j: 基向量的索引:param a: 约束中的矩阵:param b: 约束中的条件:param c: 目标函数中的c:param d: 初始化的表:return:返回基向量，a，b"""sigma = np.array([1, 1, 1, 1, 1]).astype(float)while (sigma>0).any():j, a, b, sigma=pivot(j,a,b)return j,a,b

3.结果输出

根据最后确定的基向量、矩阵a，矩阵b确定最终的结果

"解的输出"
def output(j,a,b):result=[0]*len(b)for i in range(len(b)):result[j[i]]=b[i]return result

4.完整代码

实例：左边为原问题，右边为标准形式

import numpy as np# 表格的初始化
#输入一个初始的表
d=np.array([[2,1,0,0,0,0],[0,5,1,0,0,15],[6,2,0,1,0,24],[1,1,0,0,1,5]]).astype(float)
# 初始的参数表进行分离
c=d[0,:-1]
a=d[1:,:-1]
b=d[1:,-1]
#确定基向量
j=[2,3,4]     #基向量#进行循环
def pivot(j,a,b):Cb=[c[i] for i in j]      #更新Cb# 对sigma进行求解sigma = np.array([0]*a.shape[1]).astype(float)   #求解sigma，用做后续的判定for i in range(a.shape[1]):temp = 0for k in range(a.shape[0]):temp += a[k, i] * Cb[k]sigma[i] = c[i] - temp# 得到换入变量，从sigam中最大值的索引为换入基变量vetorIn = np.argmax(sigma)  # 这里的vetorIn是横着的索引# 得到换出基变量theta = []for i in range(len(b)):if a[i, vetorIn] == 0:       #如果为0，则不能当作除数theta.append(10000000000)else:theta.append(b[i] / a[i, vetorIn])index = np.argmin(theta)  # 确定换出基变量，这里的index时竖着的索引vetorOut = j[np.argmin(theta)]          #这里得到的是换出基变量，但是后面一般都用其索引index#行变换，进行高斯变换temp=a[index, vetorIn]a[index, :] = a[index, :] / a[index, vetorIn]      #对换出基向量进行变换-----矩阵Ab[index] = (b[index] /temp)                        #对换出基向量进行变换+-----举证bfor i in range(a.shape[0]):                        #对其他的行向量高斯变换if i != index:if a[i, vetorIn] != 0:                    #如果为换入基向量列中有0，则无需变换temp=a[i, vetorIn]a[i, :] = a[i, :] - a[i, vetorIn] * a[index, :]b[i] = b[i] - temp * b[index]# 基向量的替换j[index] = vetorIn  # 基变量return j,a,b,sigma"最优性检验"
def check(j,a,b,c,d):"""这里的主要的求解步骤:param j: 基向量的索引:param a: 约束中的矩阵:param b: 约束中的条件:param c: 目标函数中的c:param d: 初始化的表:return:返回基向量，a，b"""sigma = np.array([1, 1, 1, 1, 1]).astype(float)while (sigma>0).any():j, a, b, sigma=pivot(j,a,b)return j,a,b
"解的输出"
def output(j,a,b):result=[0]*len(b)for i in range(len(b)):result[j[i]]=b[i]return resultif __name__ == '__main__':J,A,B=check(j,a,b,c,d)Result=output(J,A,B)for i in range(len(Result)):print('x',str(i+1),'为',Result[i])

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