一，哈密顿回路、哈密顿链路

二，Dirac定理

三，算法

力扣 996. 正方形数组的数目

力扣 980. 不同路径 III

四，竞赛图

五，相关puzzle

1，数字满格

2，马的哈密顿回路、链路

一，哈密顿回路、哈密顿链路

图的哈密顿回路是指包含图的所有节点的回路。

图的哈密顿链路是指包含图的所有节点的链路。

二，Dirac定理

如果G是一个n（n≥3）个点的无向简单图，所有节点的度数都 ≥ n/2.0，则G中存在哈密顿回路。

证明过程：

（1）G是连通图

（2）设最长路径是L，用抽屉原理可以证明L是个环

（3）如果有节点不在环中，根据连通性可以加入一个点把环变成一条更长的路径。所以所有节点都在这个环中。

三，求解哈密顿链路

哈密顿问题其实和TSP问题差不多，是NP问题，没有特别好的算法。

回溯法：

class Hamilton
{
public:stack<int> hami;//哈密顿链路Hamilton(int n, map<int, vector<int>>& m, int type)//type=0是无向图 1是有向图{this->n = n;this->m = m;this->type = type;for (int i = 0; i < n; i++)dfs(i);}
private:bool dfs(int k){s.push(k);if (s.size() == n) {hami = s;return true;}for (auto nk : m[k]) {if (visit[k])continue;visit[k] = 1;if (dfs(nk))return true;visit[k] = 0;}s.pop();return false;}int n;int type;map<int, vector<int>> m;//邻接表map<int, int>visit;stack<int>s;
};

力扣 996. 正方形数组的数目

给定一个非负整数数组 A，如果该数组每对相邻元素之和是一个完全平方数，则称这一数组为正方形数组。

返回 A 的正方形排列的数目。两个排列 A1 和 A2 不同的充要条件是存在某个索引 i，使得 A1[i] != A2[i]。

示例 1：

输入：[1,17,8]
输出：2
解释：
[1,8,17] 和 [17,8,1] 都是有效的排列。

示例 2：

输入：[2,2,2]
输出：1

提示：

1 <= A.length <= 12
0 <= A[i] <= 1e9

vector<int> gnums;
class Hamilton
{
public:map<long long, int>ans;Hamilton(int n, map<int, vector<int>>& m, int type)//type=0是无向图 1是有向图{this->n = n;this->m = m;this->type = type;for (int i = 0; i < n; i++)dfs(i,1);}
private:bool dfs(int k,int deep){if (visit[k])return false;long long h2 = h;hash(k);if (hashVisit[h])goto RET;hashVisit[h] = 1;if (deep == n) {ans[h] = 1;h = h2;return true;}visit[k] = 1;for (auto nk : m[k]) {dfs(nk,deep+1);}RET:visit[k] = 0;h = h2;return false;}void hash(int k){h = ((h * (gnums[k]+123) + 666) * 789)%1000000007;}int n;int type;map<int, vector<int>> m;//邻接表map<int, int>visit;map<long long, int>hashVisit;long long h = 1234567;
};class Solution {
public:int numSquarefulPerms(vector<int>& nums) {int n = nums.size();map<int, vector<int>>m;for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = i + 1; j < n; j++) {if (isSquare(nums[i] + nums[j]))m[i].push_back(j), m[j].push_back(i);}gnums = nums;return Hamilton(n, m, 0).ans.size();}bool isSquare(int n) {int x = sqrt(n);return x * x == n;}
};

力扣 980. 不同路径 III

在二维网格 grid 上，有 4 种类型的方格：

1 表示起始方格。且只有一个起始方格。
2 表示结束方格，且只有一个结束方格。
0 表示我们可以走过的空方格。
-1 表示我们无法跨越的障碍。

返回在四个方向（上、下、左、右）上行走时，从起始方格到结束方格的不同路径的数目。

每一个无障碍方格都要通过一次，但是一条路径中不能重复通过同一个方格。

示例 1：

输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,2,-1]]
输出：2
解释：我们有以下两条路径：
1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2)
2. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2)

示例 2：

输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,2]]
输出：4
解释：我们有以下四条路径：
1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)
2. (0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3)
3. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3)
4. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2),(2,3)

示例 3：

输入：[[0,1],[2,0]]
输出：0
解释：
没有一条路能完全穿过每一个空的方格一次。
请注意，起始和结束方格可以位于网格中的任意位置。

提示：

1 <= grid.length * grid[0].length <= 20

class Hamilton
{
public:map<long long, int>ans;Hamilton(int n, map<int, vector<int>>& m, int type,int start,int e)//type=0是无向图 1是有向图{this->n = n;this->m = m;this->type = type;this->e = e;dfs(start,1);}
private:bool dfs(int k,int deep){if (visit[k])return false;long long h2 = h;hash(k);if (hashVisit[h])goto RET;hashVisit[h] = 1;if (deep == n) {ans[h] = 1;h = h2;return true;}visit[k] = 1;for (auto nk : m[k]) {if (deep < n - 1 && nk == e)continue;dfs(nk,deep+1);}RET:visit[k] = 0;h = h2;return false;}void hash(int k){h = ((h * (k+123) + 666) * 789)%1000000007;}int n;int type;map<int, vector<int>> m;//邻接表map<int, int>visit;map<long long, int>hashVisit;long long h = 1234567;int e;
};class Solution {
public:int uniquePathsIII(vector<vector<int>>& grid) {row=grid.size(),col = grid[0].size();int n = row*col;map<int, vector<int>>m;int s, e;for (int i = 0; i < row; i++)for (int j = 0; j < col; j++) {if (grid[i][j] == -1) {n--;continue;}if (grid[i][j] == 1)s = id(i, j);if (grid[i][j] == 2)e = id(i, j);vector<int> v = getNeighbor4(id(i, j));for (int k : v)if(grid[k/col][k%col]!=-1)m[k].push_back(id(i, j));}return Hamilton(n, m, 0,s,e).ans.size();}int id(int x, int y){return x * col + y;}vector<int> getNeighbor4(int k){vector<int>ans;if (k >= col)ans.push_back(k - col);if (k < (row - 1) * col)ans.push_back(k + col);if (k % col)ans.push_back(k - 1);if (k % col < col - 1)ans.push_back(k + 1);return ans;}int row,col;
};

四，竞赛图

竞赛图必有哈密顿链路。

竞赛图中不存在环当且仅当所有顶点的出度从小到大排列依次为0, 1, 2, … , n-1 。

翻译成赛事语言就是，单循环赛结果没有环，当且仅当所有人的实力是线性排序的，没有任何一次比赛发生逆袭现象。

五，相关puzzle

1，数字满格

4399在线play

每个格子有8个邻居（部分格子可能只有3-7个邻居），按照这种关系把100个格子转化成无向图，寻找此图的曼哈顿链。

到90是比较容易的，到100就比较难了。

2，马的哈密顿回路、链路

定理：

如果n是偶数（n>4）那么n*n的棋盘有一个哈密顿回路。

如果n是奇数（n>3）那么n*n的棋盘有一个哈密顿链路。

像这样的图还可以构造一些，不过基本上都差不多。

总结起来就是，最中间的格子是比较特殊的，上图中标号1-8的这8个格子构成1个回路，

其余的16个格子也构成1个回路，相当于5*5的棋盘其实就是3个回路组合而成，只要适当地选择断点，即可把3个回路连接成一条链。

如果选取的起点不同，得到的哈密顿链还是略有区别的。

比如：112象棋（12）

关于上面的2个定理，书上的意思是用数学归纳法来证明，从n=k变成n=k+4相当于在原来的基础上，套上了一个宽度为2的边框。这个边框是若干个哈密顿回路组成的，只要在适当的地方断开，就可以和里面的k*k连接起来。

下面讨论，7*7的棋盘去掉中间的3*3如何形成哈密顿回路。

首先，角落的点只有2个邻居，那么在回路里面，这2个点也一定都是他的邻居。

其他的，以此类推，可以得到下图：

对于那些已经连了2条线的点，自然是没有任何悬念了，所以接下来只需要考虑那些恰好连了1条线的点该如何连接起来。将上图化简如下：

黑色的线表示一定相连，红色的线表示可能相连。

这样，可以得到这16个点的哈密顿回路：

与此对应，可以得到原图：

这是由2个哈密顿回路构成的。

这样，整个通过把大的回路断开一个地方，可以得到下图：

在把紫色的哈密顿回路和这个长为41的哈密顿链连接起来，即可得到7*7的哈密顿链

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