Duffing振子检测微弱特征信号原理

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之前我们说过对于不同的待测信号，基于不同的策动力幅值，系统运动的相轨会发生不同的变化。当 γ \gamma γ处于阈值附近，很轻微的变化会使系统状态发生巨大的变化，我们正是利用这一特性来检测微弱信号。
原理
之前我们使用Duffing方程对正弦信号进行检测：
x ¨ + k x ˙ − α x 3 + β x 5 = γ c o s ( w t ) \ddot{x}+k\dot{x}-\alpha{x}^3+\beta{x}^5 = \gamma cos(wt) x¨+kx˙−αx3+βx5=γcos(wt)
其中， k k k为阻尼比， − x 3 ( t ) + x 5 ( t ) -x^3(t)+x^5(t) −x3(t)+x5(t)为非线性恢复力， γ \gamma γ c o s ( w t ) cos(wt) cos(wt)为周期摄动力。
当混沌振子的参数发生微小的变化的时候，混沌振子的相轨就会发生十分明显的变化，由周期态变为混沌态或者由混沌态变为周期态。我们在系统中加入待测信号作为周期力的参数摄动，待测信号形式：
F c o s ( w t + β ) + n ( t ) Fcos(wt+\beta)+n(t) Fcos(wt+β)+n(t)
其中 F F F为待测信号的幅值， w w w为待测信号的频率, β \beta β为待测信号的初始相位， n ( t ) n(t) n(t)为噪声。
我们将待测信号写入到Duffing振子中可以改写为：
x ˙ ( t ) = y ( t ) \dot{x}(t)=y(t) x˙(t)=y(t)
y ˙ ( t ) = − a y ( t ) + x 3 ( t ) − x 5 ( t ) + γ c o s ( w t ) + F c o s ( w t + β ) + n ( t ) \dot{y}(t)=-ay(t)+x^3(t)-x^5(t)+\gamma cos(wt) + Fcos(wt+\beta)+n(t) y˙(t)=−ay(t)+x3(t)−x5(t)+γcos(wt)+Fcos(wt+β)+n(t)
我们经常使用混沌态至周期态为判断的依据，当待测信号中有微弱的特征信号 F c o s ( w t + β ) F cos(wt+\beta) Fcos(wt+β)，系统被扰动，这个时间噪声很强烈，相轨迹图变化也很明显。将待测信号 F c o s ( w t + β ) + n ( t ) F cos(wt+\beta)+n(t) Fcos(wt+β)+n(t)在 t t t时刻的采样值和和 γ c o s w t \gamma coswt γcoswt的和作为外加策动力，并且使用四阶Runge-Kutta法对方程进行积分，积分的步长为 Δ t \Delta t Δt为待测信号的采样周期 h h h，将下一时刻的结果 x ( t + Δ t ) ， y ( t + Δ t ) x(t+\Delta t)，y(t+\Delta t) x(t+Δt)，y(t+Δt) 图像显示出来。最后来辨识系统所处于的状态：混沌状态还是周期状态，从而可以判断出微弱特征信号的存在。判断依据：如果系统状态没有发生变化（一直处于混沌态），则输入信号为纯噪声，没有周期信号。如果系统状态发生了变化（从混沌态转变为周期状态），则表明输入信号中包含微弱特征信号。
检测
①：频率已知的待测信号检测
首先我们调整系统至混沌状态，然后将待检测信号作为摄动信号加入系统，最后我们观察相轨迹的变化。
对于信号幅值的检测，因为对于同一混沌检测系统，不管系统输入的周期信号参数大小，系统从周期态跃变至混沌态的阀值都是不变的，因此可以利用这一特性检测信号的幅值。
检测模型：
x ¨ + w 0 k x ˙ − w 0 2 ( α x 3 − β x 5 ) = w 0 2 γ c o s ( w t ) \ddot{x}+ w_0 k\dot{x}-w_0^2(\alpha{x}^3-\beta{x}^5) = w_0^2 \gamma cos(wt) x¨+w0kx˙−w02(αx3−βx5)=w02γcos(wt)
过程：
1.取适当的阻尼比 k = 0.5 k=0.5 k=0.5
2.确定临界阈值 γ d \gamma _d γd
3.调整系统的策动力，使Duffing系统处于混沌临界状态
4.将同频待测微弱周期信号 x ( t ) = a c o s ( w t ) + n ( t ) x(t)=a cos (wt) + n(t) x(t)=acos(wt)+n(t)作为周期里的摄动并入系统， α \alpha α为待测检测信号幅值，这个时候系统的总周期力为 γ d c o s w t + a c o s ( w t ) + n ( t ) \gamma _d coswt+a cos(wt)+n(t) γdcoswt+acos(wt)+n(t)，最后根据相轨迹可以看出信号中是否存在微弱信号周期。
5.当我们确定输入信号中含有周期信号胡，调节策动力幅值 γ d \gamma _d γd，等系统再次回到混沌状态，此时策动力的值为 γ d ′ \gamma _d' γd′，则待测周期信号幅值即为该值与混沌临界状态所对应的策动力 γ d \gamma _d γd的差值： a = γ d − γ d ′ a=\gamma _d - \gamma_d' a=γd−γd′
总结：
对于不同频率的周期信号，由混沌态跃变至周期态的策动力阈值 γ d \gamma _d γd 变化不大，只要将模型中的相关比例参数加以修改即可。另外，若待测小周期信号的频率与系统策动力频率相同，混沌系统就对该周期信号特别敏感，而与策动力频率不同的信号则按噪声处理，即使频率很高、信号很强也不太敏感，利用此特性可以实现对多频微弱正弦信号的幅值检测，将一个多频信号 x ( t ) = ∑ i = 1 p a i c o s ( w i t ) + n ( t ) x(t)=\sum_{i=1}^p a_i cos(w_it)+n(t) x(t)=∑i=1paicos(wit)+n(t) 作为策动力的一部分加入混沌系统当中，幅值检测步骤与前面相同，每个分量都重复上述步骤，就可以测得各个分量的幅值。

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